Aproximação assintótica de uma relação de recorrência (Akra-Bazzi parece não se aplicar)

Suponha que um algoritmo tenha uma relação de recorrência em tempo de execução:

$T(n) = \left\{ \begin{array}{lr} g(n)+T(n-1) + T(\lfloor\delta n\rfloor ) & : n \ge n_0\\ f(n) & : n < n_0 \end{array} \right.$

para alguma constante . Suponha que seja polinomial em , talvez quadrático. Muito provavelmente, será exponencial em . $0 < \delta < 1$ $g$ $n$ $f$ $n$

Como alguém analisaria o tempo de execução ( seria excelente)? O teorema do mestre e o método mais geral de Akra-Bazzi parecem não se aplicar. $\Theta$

asymptotics recurrence-relation

— Austin Buchanan
fonte

Encontrar um bom limite inferior é fácil, mas é difícil encontrar um bom limite superior, mas grosso modo parece estar próximo de .

T (n) = a \cdot T (n / a) + g (n)

$T(n) = a\cdot T(n/a) + g(n)$

Se você ainda está procurando uma resposta, verifique Graham, Knuth e Patashnik, "Matemática Concreta".

— Kaveh #

Supondo que seja constante, não precisamos de nenhuma suposição sobre , ou precisamos?

n_{0}

$n_0$

f

$f$

— Raphael

O parâmetro pode ser específico da instância. Seria bom ver como o tempo de execução depende de .

n_{0}

$n_0$

n_{0}

$n_0$

— Austin Buchanan

Fiz uma pergunta relacionada que, até o momento, não trouxe nenhum teorema geral para recorrências desse tipo.

— Raphael

Uma abordagem possível pode ser por analogia com equações diferenciais. Seja . Aqui é um análogo discreto da primeira derivada de . Temos a seguinte relação: $T'(n) = T(n)-T(n-1)$ $T'(n)$ $T(n)$

T^{'} (n) = T (⌊ δ n ⌋) + g (n) .

$T'(n) = T(\lfloor \delta n \rfloor) + g(n).$ O análogo contínuo disso é a equação diferencial

ou, se você preferir vê-lo escrito de forma diferente:

t^{'} (x) = t (δ x) + g (x),

$t'(x) = t(\delta x) + g(x),$

Essa é uma equação diferencial.

\frac{d}{d x} t (x) = t (δ x) + g (x) .

${d \over dx} t(x) = t(\delta x) + g(x).$

$t(x)$

Eu esqueci tudo o que sabia sobre equações diferenciais, então não conheço a solução dessa equação diferencial, mas talvez você consiga resolvê-lo revisando todas as técnicas para resolver equações diferenciais.

— DW
fonte

Donald J Newman parece ter usado essa técnica frequentemente, com ótimos resultados.

— Aryabhata

t (x)

$t(x)$