Qual é o nome dessa variante logística do TSP?

Eu tenho um problema de logística que pode ser visto como uma variante de . É tão natural que tenho certeza de que foi estudado em pesquisa operacional ou algo semelhante. Aqui está uma maneira de encarar o problema.$\text{TSP}$

Eu tenho armazéns no plano cartesiano. Há um caminho de um depósito para qualquer outro depósito e a métrica de distância usada é a distância euclidiana. Além disso, existem itens diferentes. Cada item pode estar presente em qualquer número de armazéns. Temos um coletor e nos é dado um ponto de partida , digamos a origem . O coletor recebe um pedido e uma lista de itens. Aqui, podemos assumir que a lista contém apenas itens distintos e apenas um de cada. Temos que determinar o mais curto passeio a partir de visitando algumas número de armazéns de modo que o que pegar cada item na ordem.$P$$n$$1 \leq i \leq n$$s$$(0,0)$$s$

Aqui está uma visualização de uma instância gerada aleatoriamente com . Os armazéns são representados por círculos. Os vermelhos contêm o item , os azuis, o item e os verdes, o item . Dado algum ponto de partida ea ordem ( ), devemos escolher um vermelho, um azul e um armazém verde para que a ordem pode ser concluída. Por acidente, não há armazéns multicoloridos neste exemplo, portanto todos eles contêm exatamente um item. Essa instância específica é um caso de set-TSP .$P = 35$$1$$2$$3$$s$$1,2,3$

Eu posso mostrar que o problema é realmente -hard. Considere uma instância em que cada item está localizado em um armazém diferente . A ordem é tal que contém todos os itens. Agora devemos visitar todos os armazéns e encontrar o menor tour para fazer isso. Isso equivale a resolver uma instância de .$\mathcal{NP}$$i$$P_i$$P_i$$\text{TSP}$

Sendo tão obviamente útil, pelo menos no contexto de logística, roteamento e planejamento, tenho certeza de que isso já foi estudado antes. Eu tenho duas perguntas:

1. Qual é o nome do problema?
2. Quão bem se pode esperar aproximar o problema (assumindo )?$\mathcal{P} \neq \mathcal{NP}$

Estou muito feliz com o nome e / ou referência (s) ao problema. Talvez a resposta para o segundo ponto seja fácil ou eu possa descobrir isso sozinho.

O problema está em se o número de itens for constante.$\mathrm{P}$

Seja o número de itens (independente de ). Para cada pedido de itens, use o retorno para tentar todas as rotas permitidas: primeiro você passa por um depósito para o primeiro item (tentando todos os armazéns), depois um para o segundo item e assim por diante.$K$$n$

Existem pedidos itens. Seja o número de armazéns para o item . O número de rotas é . Portanto, o tempo de execução do algoritmo acima é , que é polinomial para o fixo .$O(K!)$$W_i$$i$$\prod_{i=1}^K W_i \leq \prod_{i=1}^K n = n^K$$O(K! n^K)$$K$

Se o número de itens puder ser linear em , o problema é pelo menos tão difícil de aproximar quanto o : você pode tomar uma instância do , criar um item para cada vértice como você observou e adicionar vértices extras muito longe de todos os outros vértices aumentam (e, portanto, permitem itens suficientes para que todos os vértices da instância do tenham um item diferente), sem destruir a dureza da aproximabilidade do . Observe que, se seus pontos estão no plano euclidiano, isso realmente não ajuda, pois existe um para planar .$n$$TSP$$TSP$$n$$TSP$$TSP$$PTAS$$TSP$

Entre outros, esse problema pode ser visto como uma instância do problema do comprador em viagem. é uma generalização de e foi proposta pela primeira vez por T. Ramesh, Problema do comprador de viagem, 1981. O problema é o seguinte:$\text{TPP}$$\text{TSP}$

Recebemos um conjunto de mercados e um conjunto de de produtos. Também temos , o custo da viagem da cidade para a cidade , e não negativo , o custo de um produto no mercado . O comprador parte de sua cidade natal (por exemplo, cidade ) e viaja para um subconjunto das cidades e compra cada um dos produtos das cidades que ele visita e volta para sua cidade natal. O objetivo é encontrar um passeio para o comprador de modo que a soma dos custos de viagem e compra seja minimizada.$M = \{ 1, ..., m \}$$N = \{ 1, ..., n \}$$c_{ij}$$i$$j$$d_{ij}$$i$$j$$1$$m$$n$

Portanto, nos termos da pergunta original, armazéns são mercados. Cada item disponível em um mercado tem preço igual. Se o item não estiver disponível no mercado , seu preço será definido como um valor alto.$i$$j$$d_{ij}$

Além de conter , contém coleta de prêmios , problema de localização de instalações sem capacidade, problema de árvore Steiner do grupo e problema de cobertura do conjunto como seus casos especiais imediatos. Para a dureza, seguindo os resultados atuais da dureza para a cobertura do conjunto, segue-se que não existe PTAS para mesmo com custos métricos de viagem cuja taxa de desempenho seja melhor que menos que . Para discussões e formulações adicionais como IP, consulte, por exemplo, R. Ravi e FS Salman, Algoritmos de aproximação para o problema do comprador viajante e suas variantes no design de rede, 1999 . o$\text{TSP}$$\text{TPP}$$\text{TSP}$$\text{TPP}$$(1-o(1))\ln n$$\mathcal{P} = \mathcal{NP}$A entrada da Wikipedia para TPP também fornece links para algumas abordagens heurísticas.

O que você descreveu parece mais um problema de planejamento na IA. Parece o que pode ser modelado com uma linguagem de planejamento, como STRIPS , ADL, PDDL, etc. Uma vez modelado, o plano pode ser resolvido por um dos muitos algoritmos / heurísticos de planejamento, que geralmente são algoritmos de busca no espaço de estado. Os links do Wiki devem começar. Um capítulo de planejamento em qualquer livro de IA também pode ajudar. Um exemplo de planejador PDDL é o software GraphPlanner .

Concedido que algumas instâncias bastante degeneradas desse problema podem ser equivalentes ao TSP, esse problema geralmente não é o mesmo que o TSP, nem é definido como TSP. No TSP e no Set TSP, o conjunto de cidades (armazéns) a serem visitados é predefinido. Aqui, nós realmente não nos importamos com o que os armazéns são visitados, mas sim com o atendimento de um pedido da maneira mais barata e eficiente possível. Você pode ter pedidos que não podem ser atendidos. Um planejador voltará com um plano vazio ou parcial nesse caso - um relatório de não satisfação. O problema de satifiabilidade do plano é geralmente conhecido como completo pelo PSPACE. No TSP ou no Set TSP, sempre existe um tour ideal - embora não seja único.