Tempo de execução do algoritmo ideal

Nos é dado um conjunto de pontos bidimensionais e um número inteiro . Precisamos encontrar uma coleção de círculos que incluam todos os pontos, de modo que o raio do maior círculo seja o menor possível. Em outras palavras, devemos encontrar um conjunto de pontos centrais, de modo que a função de custo é minimizado. Aqui, denota a distância euclidiana entre um ponto de entrada p_i e um ponto central c_j . Cada ponto se atribui ao centro de cluster mais próximo, agrupando os vértices em kk k n C = { c 1 , c 2 , … , c k } k custo ( C ) = max i min j D ( p i , c j ) D p i c j$|P| = n$$k$$k$$n$$C = \{ c_1,c_2,\ldots,c_k\}$$k$$\text{cost}(C) = \max_i \min_j D(p_i, c_j)$$D$$p_i$$c_j$$k$ aglomerados diferentes.

O problema é conhecido como o problema (discreto) de cluster $k$ e é $\text{NP}$ -hard. Pode ser mostrado com uma redução do problema do conjunto dominante $\text{NP}$ que, se existir um algoritmo de aproximação $\rho$ para o problema com $\rho < 2$ então $\text{P} = \text{NP}$ .

O algoritmo ideal $2$ aproximação 2 é muito simples e intuitivo. Primeiro, escolhe-se um ponto $p \in P$ arbitrariamente e o coloca no conjunto $C$ dos centros de cluster. Em seguida, escolhe-se o próximo centro de cluster, o mais distante possível de todos os outros centros de cluster. Então enquanto $|C| < k$ , que repetidamente encontrar um ponto de $j \in P$ para os quais a distância $D(j,C)$ seja maximizada e adicioná-lo a $C$ . Uma vez $|C| = k$ terminamos.

Não é difícil ver que o algoritmo guloso ideal é executado no tempo $O(nk)$ . Isso levanta uma questão: podemos alcançar $o(nk)$ ? Quanto melhor podemos fazer?

O problema pode ser visto geometricamente de uma maneira que gostaríamos de cobrir os pontos por bolas, onde o raio da bola maior é minimizado.$V$$k$

$O(nk)$ é realmente bastante simples de alcançar, mas é possível fazer melhor. Feder e Greene, algoritmos ótimos para cluster aproximado, 1988 atingem um tempo de execução de usando estruturas de dados mais inteligentes e mostram ainda que isso é ideal no modelo de árvore de decisão algébrica.$\Theta(n \log k)$

Minha pergunta: Existe uma maneira de executar a estratégia de seleção gananciosa em ?$o(|V|^2)$

Parece-me que você o descreveu. Caso eu tenha lido demais na sua descrição, aqui está o que eu entendi. Possui uma estrutura de dados associativo associando cada elemento de com a soma da distância de elementos de S . Essa estrutura de dados pode ser inicializada a um custo O ( | V | ) com a distância até pe essa inicialização pode produzir o próximo elemento como um efeito colateral sem aumentar a complexidade. Ele pode ser atualizado após a seleção de um novo elemento a um custo de O ( | V | ) , produzindo novamente o próximo elemento como efeito colateral. Repita para obter $V$$S$$O(|V|)$$p$$O(|V|)$$S$. A complexidade resultante é .$O(k |V|)$