Expressões regulares “densas” geram

Aqui está uma conjectura para expressões regulares:

Para a expressão regular , deixe o comprimento | R | seja o número de símbolos nele, ignorando parênteses e operadores. Por exemplo | 0 ∪ 1 | = | ( 0 ∪ 1 ) ∗ | = $R$$|R|$$|0 \cup 1| = |(0 \cup 1)^*| = 2$

Conjectura: se e L ( R ) contém todas as cadeias de comprimento | R | ou menos, então L ( R ) = Σ ∗ .$|R| > 1$$L(R)$$|R|$$L(R) = \Sigma^*$

Ou seja, se é 'densa' até R length 's, em seguida, R realmente gera tudo.$L(R)$$R$$R$

Algumas coisas que podem ser relevantes:

1. Apenas uma pequena parte de é necessária para gerar todas as strings. Por exemplo, em binário, R = ( 0 ∪ 1 ) * ∪ S vão trabalhar para qualquer S .$R$$R = (0 \cup 1)^* \cup S$$S$
2. Precisa haver uma estrela Kleene em em algum momento. Se não houver, ele perderá uma sequência de tamanho menor que | R | .$R$$|R|$

Seria bom ver uma prova ou contra-exemplo. Existe algum caso em que obviamente está errado que eu perdi? Alguém já viu isso (ou algo semelhante) antes?

Sua conjectura é contestada por Keith Ellul, Bryan Krawetz, Jeffrey Shallit e Ming-wei Wang em seu artigo "Expressões regulares: novos resultados e problemas em aberto". Enquanto o jornal não está disponível on-line, é uma palestra .

$|\mathrm{alph}(R)|$$R$$\epsilon$$\emptyset$$\emptyset$$\epsilon$$|\mathrm{alph}(R)|$

$n \geq 3$$O(n)$$\{0,1\}$$\Omega(2^n n)$