Se A está mapeando redutível para B, então o complemento de A está mapeando redutível para o complemento de B

Estou estudando para a minha final em teoria da computação e estou lutando com a maneira correta de responder se essa afirmação é verdadeira ou falsa.

Pela definição de , podemos construir a seguinte declaração,$\leq_m$

$w \in A \iff f(w) \in B \rightarrow w \notin A \iff f(w) \notin B$

É aqui que eu estou preso, quero dizer que, como temos uma função computável , isso só nos dará o mapeamento de A para B se houver um, caso contrário, não.$f$

Não sei como expressar isso corretamente, ou se estou no caminho certo.

Como Dave disse, segue-se de uma equivalência lógica simples: é o mesmo que . Agora coloque e .$p \leftrightarrow q$$\lnot p \leftrightarrow \lnot q$$p= w\in A$$q = f(w) \in B$

$A \leq_m B$ significa que existe um total de calculável r para todos ,$f$$w$

$w \in A \leftrightarrow f(w) \in B$ .

Pelo argumento acima, é o mesmo que

$w \notin A \leftrightarrow f(w) \notin B$ .

Ou equivalente

$w \in \bar{A} \leftrightarrow f(w) \in \bar{B}$ .

E, portanto, o mesmo mostra que .ˉ A ≤ m ˉ $f$$\bar{A} \leq_m \bar{B}$

w ∈ A ↔ f ( w ) ∈ B w ∈ A ↔ f ( w ) ∈ B A ≤ m$A \leq_m B$ não implica somente o outro caminho é verdadeiro se então mas não reciprocamente$w \in A \leftrightarrow f(w) \in B$$w \in A \leftrightarrow f(w) \in B$$A \leq_m B$