Fechamento contra quociente certo com um idioma fixo

Eu realmente adoraria sua ajuda com o seguinte:

Para qualquer fixo $L_2$ I precisa decidir se há fechamento nas seguintes operadores:

1. $A_r(L)=\{x \mid \exists y \in L_2 : xy \in L\}$

2. $A_l(L)=\{x \mid \exists y \in L : xy \in L_2\}$ .

As opções relevantes são:

1. Os idiomas regulares estão fechados em resp. A r , para qualquer idioma L $A_l$$A_r$$L_2$

2. Para alguns idiomas , os idiomas regulares são fechados em A l resp. A r , e para alguns idiomas L 2 , os idiomas regulares não estão fechados em A l resp. A r .$L_2$$A_l$$A_r$$L_2$$A_l$$A_r$

Eu acreditava que a resposta para (1) deveria ser (2), porque quando eu recebo uma palavra em e w = x y eu posso construir um autômato que pode adivinhar onde x está se voltando para y , mas é preciso verificar que y pertence a L 2 e se não for regular, como faria isso? A resposta para isso é (1).$w \in L$$w=xy$$x$$y$$y$$L_2$

O que devo fazer para analisar corretamente esses operadores e determinar se os idiomas regulares estão fechados sob eles ou não?

Para responder a essa pergunta, precisamos permitir qualquer . Então, vamos pensar que L 2 é uma linguagem muito complexa (digamos, uma linguagem indecidível).$L_2$$L_2$

Vamos começar com a pergunta fácil: (parte 2 da pergunta). Pegue L 2 para ser indecidível e L = { ε } . O que acontece?$A_l(L)$$L_2$$L=\{\varepsilon\}$

(moral: sempre verifique os "extremos": vazio , L = { ε } e L = Σ ∗ ...)$L$$L=\{\varepsilon\}$$L=\Sigma^*$

Agora para . Essa é uma ótima pergunta (geralmente uma pergunta bônus em Final / Trabalho de casa). De fato, idiomas regulares são fechados em A r para qualquer idioma L 2 . Mesmo L 2 indecidível . Legal certo?$A_r$$A_r$$L_2$$L_2$

Então, como podemos construir um autômato para se não houver uma máquina que aceite L 2 ?$A_r(L)$$L_2$

Aí vem a mágica do "pensamento abstrato", isto é, a prova existencial . Se alguém nos der , podemos usar essas informações para mostrar que existe algum autômato para resolver A ( L ) . Agora os detalhes.$L_2$$A(L)$

Começamos a partir do autômato de (a chamada é D F A L ). Suponha que após o processamento x terminemos em um estado q . Temos de aceitar se existe y ∈ L 2 de tal modo que se continue a partir do q processamento y que vai acabar num estado final de D F A G . Não existe uma máquina que possa nos dizer se y está em L 2 , mas podemos fazer q um estado final de D F A A $L$$DFA_L$$x$$q$$y\in L_2$$q$$y$$DFA_L$$y$$L_2$$q$$DFA_{A_L}$Se a condição acima detém, isto é, se existe algum de tal modo que se inicie a q e processo y que acabam em um estado final de D F A G .$y\in L_2$$q$$y$$DFA_L$

Portanto, para construir , examinamos cada um dos estados de D F A L e tornamos cada estado q um estado aceitante, se pudermos levar algum y ∈ L 2 e esse y nos levará de q a um estado aceitante de D F A G .$DFA_{A_L}$$DFA_L$$q$$y\in L_2$$y$$q$$DFA_L$

Então, ok, é infinito, e talvez não haja um computador para listar todas as palavras em L 2 , mas tudo isso não importa ... o autômato acima é bem definido, mesmo que eu não consiga desenhá-lo para você estado por estado. Magia.$L_2$$L_2$

Não tenho certeza se você está procurando uma resposta para o problema ou não, então não a forneço diretamente. (Eu posso, se você quiser, no entanto.)

Você perguntou:

O que devo fazer para analisar corretamente esses operadores e determinar se os idiomas regulares estão fechados sob eles ou não?

Sua abordagem inicial é boa. Como em todas as questões teóricas "abertas", você deve ter uma idéia intuitiva se é verdade ou não. Geralmente, isso é feito através de exemplos experimentais (comuns e de casos extremos) ou investigação de casos especiais (por exemplo, e se for regular? Livre de contexto?). Para esse problema, você precisa adivinhar se pode criar um autômato / regex para os operadores ou não. Depois disso:$L_2$

• Se você acha que você pode, você precisa ser capaz de construir este autômato / regex para qualquer idioma de entrada regular .$L$
• Se você acha que não pode, normalmente encontrará os idiomas de exemplo e L 2 de forma que A x não esteja fechado.$L$$L_2$$A_x$

(e se uma abordagem não estiver funcionando, você poderá sempre tentar a outra.)

Para o problema em si:

Ambos são o operador de quociente certo. (Acredito que o quociente esquerdo envolve deixar o postfix em vez do prefixo.) A diferença entre os dois é que enquanto A r ( L ) = L / L 2 , em que L 2 está fixo em ambos os casos.$A_l(L) = L_2 / L$$A_r(L) = L / L_2$$L_2$

Você tem alguma intuição sobre , por isso está aqui algo para se pensar em um l : Um l dá uma versão modificada do L 2 . Desde L 2 poderia ser não regular, é possível para um l para deixar L 2 inalterados? Se assim for, então Um l não é regular nesse caso. Caso contrário, teremos que argumentam que um l faz L 2 regular em todos os casos.$A_r$$A_l$$A_l$$L_2$$L_2$$A_l$$L_2$$A_l$$A_l$ $L_2$