Uma condição suficiente e necessária sobre a regularidade de um idioma

Qual das seguintes afirmações está correta?

1. existem condições suficientes e necessárias sobre a regularidade de uma língua, mas ainda não foram descobertas.

2. Não há condição suficiente e necessária sobre a regularidade de um idioma.

3. O lema de bombeamento é uma condição necessária para a não regularidade de um idioma.

4. O lema de bombeamento é uma condição suficiente para a não regularidade de um idioma.

Eu sei que # (4) está correto e # (3) é falso porque "o inverso dessa afirmação não é verdadeiro: uma linguagem que satisfaça essas condições ainda pode não ser regular", mas o que pode ser dito sobre (1) e (2)

Aqui estão algumas condições necessárias e suficientes para que um idioma seja regular.

Teorema. Seja . As seguintes condições são equivalentes:$L\subseteq\Sigma^*$

• $L$ é gerado por uma expressão regular (ou seja, a definição de linguagem regular).
• $L$ é reconhecido por um autômato finito não determinístico ( Kleene ).
• $L$ é reconhecido por um autômato finito não determinístico sem varepsilon.$\varepsilon$
• $L$ é reconhecido por um autômato finito determinístico ( Scott e Rabin ).
• ( N , Σ , P , S ) N Σ $L$ é gerado por uma gramática , onde é um subconjunto finito de ( Frazier e Page ).$(N,\Sigma,P,S)$$N$$\Sigma^*$
• $L$ é gerado por uma gramática livre de contexto esquerda (resp. Direita).
• O índice da relação Nerode é finito (Anil Nerode, transformações lineares de autômatos , 1958). Isso é amplamente (e incorretamente) conhecido como teorema de Myhill-Nerode. é a relação usada para criar o DFA mínimo de um idioma comum.≡ $\equiv_L$$\equiv_L$
• O índice da relação Myhill é finito (John Myhill, Finite Automata and the Representation of Events , 1957). ∼ L é a relação usada para construir o monóide sintático de uma linguagem arbitrária.$\sim_L$$\sim_L$
• O monóide sintático de é finito (conseqüência do resultado de Myhill). Observamos aqui que o monóide sintático, além de ser definido usando a relação ∼ L , pode ser definido como um monóide mínimo (em tamanho) que reconhece L como uma pré-imagem de um homomorfismo.$L$$\sim_L$$L$
• pode ser reconhecido por uma máquina de Turing somente leitura (trivial).$L$
• pode ser definido por uma fórmula na lógica monádica de segunda ordem sobre cadeias (Büchi).$L$

Se um idioma não satisfaz as condições do lema de bombeamento para idiomas regulares , ele não é regular. Isso significa que o bombeamento do lema é uma condição suficiente para a não regularidade de um idioma.

Em resumo, as declarações 1, 2 e 3 são falsas, enquanto as declarações 4 são verdadeiras, como você mencionou.

É suficiente (e necessário) mostrar a existência de um DFA, NFA ou expressão regular para provar que um idioma é regular, o que refuta (1) e (2). Para mostrar que um idioma não é regular, é necessário mostrar que não existe um DFA, NFA ou expressão regular.

O lema de bombeamento é uma ferramenta útil para mostrar (possivelmente por contradição) que um idioma não é regular, mostrando que não existe DFA.

A condição 'existe uma expressão regular que gera exatamente ' é uma condição necessária e suficiente para a regularidade de uma linguagem L , pela graça de ser sua definição.$L$$L$

Porém, essa condição não facilita exatamente a não regularidade de um idioma. Não conheço nenhuma condição fácil de verificar que sempre prove a não regularidade de um idioma não regular.

Existem mais dois 'testes' que podem provar a não regularidade de um idioma (embora eles possam não funcionar): você pode tentar fornecer um idioma regular, de modo que sua união / interseção / diferença / concatenação / quociente não seja regular ( existem mais operações como essa) e você pode tentar contar quantas palavras ele gera e verificar se isso contradiz a expressão do número de palavras em um idioma comum (como pode ser encontrado na página da Wikipedia que você vinculou).

Existe essa maravilhosa conexão entre a teoria formal da linguagem e as séries formais de poder, comprovadas por Chomsky e Schützenberger [CS63] . Na forma encontrada em [SS78], cap. II, Teorema 5.1

$L$$\mathbb{K}$$\mathrm{char}(L)$$\mathbb{K}$

$\mathrm{char}(L)$

[SS78] Arto Salomaa e Matti Soittola. Aspectos teóricos de autômatos de séries formais de potência. Springer-Verlag, Nova Iorque, 1978.

[CS63] Noam Chomsky e Marcel P. Schützenberger. A teoria algébrica das linguagens livres de contexto. Em P. Braffort e D. Hirschberg, editores, Computer Programming and Formal Languages, páginas 118-161. Holanda do Norte, 1963.

$I_{L}$$x$$y$$x I_{L} y$

1. $z_{x}$$xz_{x} \in L$$yz_{x} \in L$
2. $z_{y}$$yz_{y} \in L$$xz_{y} \in L$

$I_{L}$$L$

$I_{L}$