Redução de Turing implica redutibilidade de mapeamento

A questão é se a seguinte declaração é verdadeira ou falsa:

$A \leq_T B \implies A \leq_m B$

Eu sei que se $A \leq_T B$ existe um oráculo que pode decidir A em relação a B. Sei que isso não é suficiente para dizer que existe uma função computável de A a B que pode satisfazer a redução.

Não sei como dizer isso da maneira correta ou se o que estou dizendo é suficiente para dizer que a afirmação é falsa. Como eu mostraria isso?

Edição: Este não é um problema de lição de casa em si, estou revendo para um teste. Onde é redutibilidade de Turing e está mapeando a redutibilidade .$\leq_T$$\leq_m$

A afirmação é falsa.

Diga B é o problema da parada e $A = \overline B$. Então, dado o oráculo do problema de parada, podemos facilmente decidir seu complemento.

No entanto, não é verdade que $A \le_m B$ Desde a $B\in RE$ e $A\in coRE$ mas ambos são indecidíveis (ou seja, se $A \le_m B$ era verdade, então $B=HP$ é ambos em $RE$ e $coRE$, isso é, $B\in R$ o que é uma contradição).

É falso: pegue $Diag = \{\langle M \rangle \mid M \notin L(M) \}$ e seu complemento.

Geralmente $\leq_T$ pode ser usado para reduzir um problema ao seu complemento enquanto $\leq_m$ não podes.

Se você quiser conhecer mais tipos de reduções e exemplos diferentes, sugiro dar uma olhada na "Teoria Clássica da Recursão", de Odifreddi.

Existe um fato geral de que todo grau não-computável de Turing contém infinitamente muitos $m$graus.

(Este resultado segue pelo menos os resultados de Jockusch, "Relações entre redutibilidades", Trans. Amer. Math. Soc. 142 (1969), 229-237. Isso poderia ter sido conhecido antes disso.)