Como uma heurística admissível garante uma solução ideal?

Ao usar A * (ou qualquer outro algoritmo de melhor localização de caminho), dizemos que a heurística usada deve ser admissível , ou seja, nunca deve superestimar o comprimento (ou os movimentos) reais do caminho da solução.

Como uma heurística admissível garante uma solução ideal? De preferência, estou procurando uma explicação intuitiva.

Se você quiser, pode explicar usando a heurística de distância de Manhattan do quebra-cabeça 8.

— Ashwin
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@ Ashwin Intuitivamente porque quando o algoritmo encontra um caminho de comprimento

, ele já tentou todos os outros caminhos que possam ter comprimento máximo de . É por isso que sua função heurística nunca deve superestimar o custo da meta. Tente você mesmo criando uma função heurística que pode superestimar.

k

$k$ $k$

— GD

Respostas:

Enquanto a resposta de Anton é absolutamente perfeita, deixe-me tentar fornecer uma resposta alternativa: ser admissível significa que a heurística não superestima o esforço para atingir a meta, ou seja, para todos os no espaço de estados (no quebra-cabeça 8, isso significa apenas para qualquer permutação dos ladrilhos e o objetivo que você está considerando no momento) em que é o custo ideal para atingir a meta. $h(n) \leq h^*(n)$ $n$ $h^*(n)$

Eu acho que a resposta mais lógica para ver por que fornece soluções ideais se é admissível, porque ele classifica todos os nós no OPEN em ordem crescente de e, também , porque não para ao gerar a meta, mas ao expandi-la: $A^*$ $h(n)$ $f(n)=g(n)+h(n)$

Como os nós são expandidos em ordem crescente de você sabe que nenhum outro nó é mais promissor do que o atual. Lembre-se: é admissível, portanto, ter o menor significa que ele tem uma oportunidade de atingir a meta por um caminho mais barato que os outros nós no OPEN não têm. E isso é verdade, a menos que você possa provar o contrário, ou seja, expandindo o nó atual. $f(n)$ $h(n)$ $f(n)$
Como pára apenas quando ele prossegue para expandir o nó de objetivo (em oposição a parar ao gerá-lo), você tem certeza (desde o primeiro ponto acima) que nenhum outro nó leva a um caminho mais barato para ele. $A^*$

E isso é, essencialmente, tudo o que você encontrará na prova original de Nilsson et al.

Espero que isto ajude,

— Carlos Linares López
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Obrigado. Ajudou. Você estava se referindo a alguma prova de Nilsson et al. Que é aquele? E onde posso encontrar a prova?

— Ashwin

@ Ashwin Veja o livro " Principles of Artificial Intelligence " (na página 80), de Nils J. Nilsson (1982).

— Nbro 24/02/19

Se a função heurística não for admissível, poderemos ter uma estimativa maior que o custo real do caminho de um nó para um nó de objetivo. Se essa estimativa de custo de caminho mais alto estiver no caminho de menor custo (que estamos procurando), o algoritmo não o explorará e poderá encontrar outro caminho (não de menor custo) para a meta.

Veja este exemplo simples.

insira a descrição da imagem aqui

$A$ $G$ $h(N)$ $N$ $G$ $\forall N$ $c(N, X_{i})$ $N$ $X_i$ $\forall N$ $i=1..m$ $m$ $N$ $N$

Que as heurísticas sejam

$h(B) = 3$
$h(C) = 4$

$H$

h (C) = 4 > c (C, G) = 2

$h(C) = 4 > c(C, G) = 2$

$A^*$ $A$ $B$ $G$ $A \rightarrow B \rightarrow G$ $4$ $A \rightarrow C \rightarrow G$ $3$

— Anton
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Está bem. Mas como uma heurística admissível garante uma solução ideal?

— Ashwin 14/10

Pode acontecer que - h (b) <h (c) com h (b) e h (c) sendo admissíveis, mas custo real (b)> custo real (c), certo? Então b será escolhido como o próximo caminho onde, na realidade, c daria o melhor caminho.

— Ashwin 14/10

Para o primeiro comentário: a heurística admissível garante encontrar o caminho mais curto. A solução em si é ideal se a heurística for consistente .

— Anton

Para o segundo comentário: se a heurística é admissível, A-> B pode ser escolhido para o próximo nó expandir, mas depois disso o A * escolherá A-> C e não A-> B-> G. E no final, terminará com A-> C-> G.

— Anton

Porque A * funciona assim. Ele expande o nó com a menor soma de distância para aquele nó + estimativa heurística desse nó. d (A, G) + h (G) = 4 + 0 = 4 ed (A, C) + h (C) = 1 + algo <= 2 (porque é admissível). Portanto, C possui uma soma menor e o A * a escolhe. Do mesmo modo, ele expandirá G e encontrará o menor caminho.

— Anton