Redução de poli-tempo de ILP para SAT?

Portanto, como é sabido, o problema de decisão 0-1 da ILP é NP-completo. É fácil mostrar que está no NP e a redução original foi do SAT; desde então, muitos outros problemas do NP-Complete demonstraram ter formulações de ILP (que funcionam como reduções desses problemas para o ILP), porque o ILP é muito útil em geral.

As reduções do ILP parecem muito mais difíceis de resolver ou rastrear.

Portanto, minha pergunta é: alguém conhece uma redução de tempo poli de ILP para SAT, ou seja, demonstrando como resolver qualquer problema de decisão de 0-1 ILP usando SAT?

0-1 ILP formulado como:

Existe um vetor , sujeito a restrições:$\mathbf{x}$

$$\left.\begin{array}{rrrrr|rr} a_{11} x_1 & + &a_{12} x_2 & ... + & a_{1n} x_n\le b_1 \\ a_{21} x_1 & + &a_{22} x_2 & ... + & a_{2n} x_n\le b_2 \\ ...\\ a_{m1} x_1 & + &a_{m2} x_2 & ... + & a_{mn} x_n\le b_m \\ \end{array}\right.$$

Domínio de x:$\forall_{x_j \in \mathbf{x}} x_j\in \{0,1\}$

Redução para k-sat:

Primeiro reduza para o circuito sentado:

Comece com a primeira linha, crie uma variável booleana para representar cada bit em e uma variável booleana para . Então faça variável para . Faça um circuito de adição (escolha o seu favorito) adicionando a linha.$a_{1j}$$x_j$$b_1$

Em seguida, faça um circuito de comparação, declarando a soma menor que .$b_1$

Converta esses dois circuitos em CNF, preenchendo as variáveis desde que sejam fornecidas.$a_{1j}$$b_1$

Repita para todas as linhas, mas reutilize as variáveis entre elas.$x_j$

A CNF final conterá todas as restrições.

É algum tipo de necro-resposta para uma pergunta já respondida e aceita, mas quero observar que existe uma maneira realmente mais fácil.

Considere que você tem uma das desigualdades como esta:

$5*x_1 + 2*x_2 + 3*x_3 \leq 6$

$(1, 1, 1)$$(1, 1, 0)$$(1, 0, 1)$

$(1, 1, 1)$$\neg(x_1 \land x_2 \land x_3)$$(\neg x_1 \lor \neg x_2 \lor \neg x_3)$

$(\neg x_1 \lor \neg x_2 \lor \neg x_3)$$(\neg x_1 \lor \neg x_2 \lor x_3)$$(\neg x_1 \lor x_2 \lor \neg x_3)$

Ao atravessar todas as desigualdades e coletar cláusulas, você receberá o cnf no final. Freqüentemente, esse cnf será MUITO MAIS SIMPLES, então um, que resulta da resposta aceita. O custo é um pré-processamento mais difícil, no entanto.