Qual é o algoritmo mais rápido para multiplicar dois números de n dígitos?

Quero saber qual algoritmo é mais rápido para a multiplicação de dois números de n dígitos? A complexidade do espaço pode ser relaxada aqui!

Atualmente, o algoritmo de Fürer de Martin Fürer possui uma complexidade temporal de que utiliza transformadas de Fourier sobre números complexos. Seu algoritmo é realmente baseado no algoritmo de Schönhage e Strassen, que tem uma complexidade de de$n \log(n)2^{Θ(log*(n))}$$Θ(n\log(n)\log(\log(n)))$

Outros algoritmos que são mais rápidos que o algoritmo de multiplicação da escola primária são a multiplicação de Karatsuba, que possui uma complexidade de tempo de ≈ e de algoritmo Toom 3, que possui complexidade de tempo de$O(n^{\log_{2}3})$$O(n^{1.585})$$Θ(n^{1.465})$

Observe que esses são os algoritmos rápidos. Encontrar o algoritmo mais rápido para multiplicação é um problema em aberto na Ciência da Computação.

Referências :

1. Algoritmo de Fürer
2. Multiplicação baseada em FFT de grandes números
3. Transformação rápida de Fourier
4. Multiplicação Toom – Cook
5. Algoritmo de Schönhage – Strassen
6. Algoritmo de Karatsuba

Observe que os algoritmos FFT listados por avi adicionam uma constante grande, tornando-os impraticáveis ​​para números menores que milhares + bits.

Além dessa lista, existem outros algoritmos interessantes e perguntas em aberto:

• Multiplicação de tempo linear em um modelo de RAM (com pré-computação)
• A multiplicação por uma constante é sub-linear ( PDF ) - significa um número sublinear de adições que obtém um total decomplexidadede. Isso é essencialmente equivalente à multiplicação longa (onde você alterna / adiciona com base no número des no número inferior), que é, mas com umaceleração.1O(n2)O(logn$\mathcal{O}\left(\frac {n^2} {\log n} \right)$$1$$\mathcal{O}\left({n^2} \right)$$\mathcal{O}\left(\log n\right)$
• Sistema de números de resíduos e outras representações de números; multiplicação é tempo quase linear. A desvantagem é que a multiplicação é modular e {detecção de transbordamento, paridade, comparação de magnitude} são tão difíceis ou quase tão difíceis quanto converter o número de volta para representação binária ou similar e fazer a comparação tradicional; essa conversão é pelo menos tão ruim quanto a multiplicação tradicional (no momento, AFAIK).
  • Outras representações:
    • [ Representação logarítmica ]: multiplicação é adição da representação logarítmica. Exemplo: $$16 \times 32 = 2^{\log_2 16 + \log_2 32} = 2^{4+5} = 2^{9}$$
      • O lado negativo é que a conversão para e da representação logarítmica pode ser tão difícil quanto a multiplicação ou mais difícil, a representação também pode ser fracionária / irracional / aproximada etc. Outras operações (adição?) Provavelmente são mais difíceis.
    • Representação canônica : representa os números como expoentes da fatoração primária. Multiplicação é a adição dos expoentes. Exemplo: $$36 \times 48 = 3^2\cdot 5^1\times 2^{2}\cdot 3^1\cdot 4^1 = {2^2}\cdot {3^2} \cdot 4^1 \cdot 5^1$$
    • A desvantagem é que requer fatores ou fatoração, um problema muito mais difícil que a multiplicação. Outras operações, como adição, provavelmente são muito difíceis.