Como discutir coeficientes na notação big-O

Que notação é usada para discutir os coeficientes de funções na notação big-O?

Eu tenho duas funções:

• $f(x) = 7x^2 + 4x +2$
• $g(x) = 3x^2 + 5x +4$

Obviamente, ambas as funções são , de fato , mas isso não permite uma comparação além disso. Como discuto os coeficientes 7 e 3. Reduzir o coeficiente para 3 não altera a complexidade assintótica, mas ainda faz uma diferença significativa no uso do tempo de execução / memória.Θ ( x 2$O(x^2)$$\Theta(x^2)$

É errado dizer que é e é ? Existe outra notação que leva em consideração os coeficientes? Ou qual seria a melhor maneira de discutir isso?O ( 7 x 2 ) g O ( 3 x 2$f$$O(7x^2)$$g$$O(3x^2)$

Grande- e grande- q notações esconder coeficientes do termo de liderança, por isso, se você tem duas funções que são ao mesmo tempo Θ ( n 2 ) você não pode comparar seus valores absolutos, sem olhar para as próprias funções. Não é errado dizer que 7 x 2 + 4 x + 2 = Θ ( 7 x 2 ) , mas não é informativo porque 7 x 2 + 4 x + 2 = Θ ( 3 x 2$O$$\Theta$$\Theta(n^2)$$7x^2 + 4x + 2 = \Theta(7x^2)$$7x^2 + 4x + 2 = \Theta(3x^2)$também é verdadeiro (e, de fato, é para qualquer constante positiva k ).$\Theta(kx^2)$$k$

Existem outras notações que você pode querer usar. Por notação é uma reivindicação muito mais forte do grande- Θ :$\sim$$\Theta$

$\qquad \displaystyle f(x) \sim g(x) \iff \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$

Por exemplo, , mas a reivindicação 7 x 2 + 4 x + 2 ~ 3 x 2 seria falso. Você pode pensar em til notação como Θ notação que preserva os coeficientes de líderes, o que parece ser o que você está procurando se você se preocupam com o líder coeficiente do termo de crescimento dominante.$7x^2 + 4x + 2 \sim 7x^2$$7x^2 + 4x + 2 \sim 3x^2$$\Theta$

O til é uma abordagem. Se você quer ficar com , pode dizer$O$

e$\qquad f(x) = 7x^2 + O(x)$

.$\qquad g(x) = 3x^2 + O(x)$