Software para teste de homomorfismo gráfico

Eu tenho gráficos e com com que passam verificações de sanidade como como lema sem homomorfismo. Existem ferramentas gratuitas e fáceis de usar para testar o homomorfismo gráfico de para ?$G_k$$H_k$$|\mathcal{V}(G_k)|=|\mathcal{V}(H_k)|^{2k}=n^{2k}$$k\in\Bbb N$$G$$H$

A melhor maneira (em termos de preguiça) é usar a ferramenta Sage, disponível gratuitamente, que tem o melhor suporte para a teoria dos grafos.

Exemplo

sage: G = graphs.PetersenGraph()
sage: G.has_homomorphism_to(graphs.CycleGraph(5))
False
sage: G.has_homomorphism_to(graphs.CompleteGraph(5))
{0: 0, 1: 1, 2: 0, 3: 1, 4: 2, 5: 1, 6: 0, 7: 2, 8: 2, 9: 1}

Uma abordagem seria usar um solucionador SAT.

Introduzir uma variável booleana para cada vértice a partir de e cada vértice de . A intuição é que será verdadeira se o homomorfismo mapeia . (Claro, se você tem um conjunto candidato menor de vértices que poderia mapear para - talvez reduzida usando considerações grau ou outros critérios locais - então você pode reduzir o número de variáveis booleanas conformidade Este tipo de pré-processamento pode melhorar a. eficiência dessa abordagem significativamente.)$x_{t,v}$$t$$G$$v$$H$$x_{t,v}$$t \mapsto v$$t$

Em seguida, adicione dois tipos de cláusulas / restrições:

• Adicione algumas cláusulas para exigir que esse mapeamento forme um homomorfismo de gráfico. Em particular, para cada aresta , adicione a restrição$(t,u) \in E(G)$

  $$\bigvee_{(v,w) \in E(H)} (x_{t,v} \land x_{u,w}).$$

  (Você pode converter isso em 3CNF usando a transformação Tseitin padrão.)

• Adicionar algumas cláusulas que exigem que cada vértice da mapeia para exatamente um vértice de . Existem vários métodos padrão para codificar essa restrição. Uma maneira simples é, para cada vértice , adicione a cláusula$t$$G$$v$$H$$t \in V(G)$

  $$\bigvee_{v \in V(H)} x_{t,v}$$

  e a cláusula

  $$\bigwedge_{v,w \in V(H)} (\neg x_{t,v} \lor \neg x_{t,w}).$$

Em seguida, você pode usar qualquer solucionador SAT padrão. Não sei até que ponto isso funcionará na prática, mas você pode tentar e ver como funciona.

Na literatura de pesquisa, o problema do homomorfismo dos grafos tem sido estudado extensivamente para gráficos com propriedades especiais (por exemplo, onde é um clique, onde limita a largura da árvore e assim por diante). Se você conhece algo especial sobre a estrutura de seus gráficos, pode ser possível encontrar algoritmos melhores para o seu problema. Para gráficos gerais, esse problema é conhecido como NP-hard.$H$$H$