Espaço de estado acessível de um quebra-cabeça 8

Acabei de começar a estudar Inteligência Artificial e estou me perguntando por que o espaço de estado acessível de um quebra-cabeça 8 é . Vejo que o número de permutações dos ladrilhos é mas não é imediatamente óbvio por que metade dos estados possíveis do quebra-cabeça é inacessível em qualquer estado. Alguém pode elaborar? $9!/2$ $9!$

Uma imagem de um quebra-cabeça 8 para referência com uma configuração aleatória à esquerda e o estado do objetivo à direita:

Amostra 8-puzzle

artificial-intelligence

— Cam
fonte

Como o gráfico de estados consiste em dois componentes desconectados de tamanho igual (o número total de inversões de permutação de cada estado é invariante no módulo 2, dois estados que possuem um número total de inversões de permutação ímpares e pares não estão conectados); I não encontrou um exemplo bem explicado, mas esta apresentação deve ser clara o suficiente para deixá-lo entender (exceto o erro de digitação "conectado" que deve ser substituído por "desligado")

— Vor

@Vor se transformar em uma resposta?

— Yuval Filmus

Esta é uma expansão desta apresentação .

$1\;2\;3\;...\;15\;\Box$

 1  2  3  4
 5  6  7  8
 9 10 11 12
13 14 15  *

$S$ $T_i$ $T_j$ $i < j$ $T_i$ $T_j$ $T_i$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 3  .  .  1      .  7  .  .
 .  .  .  .      .  5  .  .
 .  .  .  .      .  .  .  .
    (a)             (b)

$N_j$ $T_i$ $i < j$ $T_j$

 1  2  3  4
 5 10  7  8
 9  6 11 12
13 14 15  *

$T_{7}$ $T_6$ $N_7=1$ $T_{10}$ $T_7, T_8, T_9, T_6$ $N_{10}=4$

$N$ $N_i$ $T_{\Box}$

N = \sum_{i = 1}^{15} N_{i} + r o w (T_{◻})

$N = \sum_{i=1}^{15} N_i + row(T_{\Box})$

$N = N_7 + N_8 + N_9 + N_{10} + row(T_{\Box}) = 1 + 1 +1 + 4 + 4=11$

$N$ $N$

Por exemplo:

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  2  3      .  .  *  3
 4  5  *  .      4  5  2  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 3 \mbox{ (2 is placed after 3,4,5)} - 1 \mbox{ (empty tile is moved up)} = N + 2$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  *  4      .  .  3  4
 2  5  3  .      2  5  *  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 1 \mbox{ (2 is placed after 3)} - 2 \mbox{ (4,5 are placed after 3)} + 1 \mbox{ (empty tile is moved down)} = N$

$N \bmod 2$

$N \bmod = 0$ $N \mod 2 = 1$

Por exemplo, os dois estados a seguir não estão conectados:

 1  2  3  4     1  2  3  4
 5  6  7  8     5  6  7  8
 9 10 11 12     9 10 11 12
13 14 15  *    13 15 14  *  
    N = 4         N = 5

— Vor
fonte

É o caso de um quebra-cabeça com 15 quebra-cabeças, mas parece que o resultado também pode ser generalizado para um quebra-cabeça com 8. Obrigado!

— Cam