cortes de guilhotina versus cortes gerais

Problemas de corte são problemas em que um determinado objeto grande deve ser cortado em vários objetos pequenos. Por exemplo, imagine que você tem uma fábrica que trabalha com grandes folhas de vidro em bruto, de largura e comprimento . Existem vários compradores, cada um dos quais deseja um número ilimitado de pequenas folhas de vidro. Comprador quer folhas de comprimento ea largura . Seu objetivo é cortar folhas pequenas da folha grande, de modo que o total usado seja maximizado e o desperdício seja minimizado (também existem outros tipos de problemas de corte e empacotamento ).$W$$L$$i$$l_i$$w_i$

Uma restrição comum nos problemas de corte é que os cortes devem ser de guilhotina , ou seja, cada retângulo existente pode ser cortado apenas em dois retângulos menores; é impossível criar formas em L etc. Obviamente, a área máxima utilizada com cortes de guilhotina pode ser menor que a área máxima utilizada sem restrição.

Minha pergunta é: existem limites superior e inferior na relação entre o corte ideal de guilhotina e o corte geral ideal?

Trabalho relacionado: Song et al. (2009) descrevem um algoritmo que utiliza um tipo restrito de cortes de guilhotina - cortes de guilhotina duas vezes . Eles provam, usando restrições geométricas, que a razão entre o corte máximo de guilhotina duas vezes e o corte máximo de guilhotina é limitada por . Estou procurando um resultado comparável sobre a relação entre o corte máximo de guilhotina e o corte geral máximo.$\frac{6}{7}$

Embora isso não seja rigoroso, posso oferecer limites inferior e superior de e na pior relação entre cortes de guilhotina e cortes gerais.$1/4$$3/4$

Vamos começar com o limite superior e supor que recebemos um pedaço quadrado de vidro com um comprimento lateral de . Além disso, temos exatamente um comprador interessado em folhas de vidro retangulares de largura e comprimento . Usando cortes gerais, a solução ideal é semelhante à figura a seguir, com quatro dos retângulos desejados posicionados em torno de um pequeno quadrado de comprimento lateral no meio.$2$$1-\varepsilon$$1+\varepsilon$$\varepsilon$

É fácil ver que esse padrão de corte não pode ser alcançado através de cortes de guilhotina. De fato, qualquer padrão de corte usando guilhotina pode caber no máximo 3 dos retângulos desejados no quadrado original. Como resultado, a pior proporção entre cortes de guilhotina e cortes gerais é de pelo menos .$3/4$

Em seguida, vamos dar uma olhada no limite inferior. Seja e os comprimentos laterais da folha de vidro original. Sem perda de generalidade, podemos assumir que existe um comprador tal que e . Caso contrário, a folha original seria inutilizável, não importa se usamos cortes de guilhotina ou cortes gerais. No entanto, usando cortes de guilhotina, sempre podemos cortar pelo menos um quarto da folha original, simplesmente alinhando os retângulos desejados pelo comprador , conforme mostrado na figura a seguir.$W$$L$$i$$w_i \leq W$$l_i \leq L$$i$

Observe que as corresponde retângulo vermelho para um quarto de toda a folha e é completamente coberto pelo retângulos comprador cinza deseja. Por outro lado, mesmo que usemos cortes gerais, não podemos usar mais do que a folha inteira, o que nos dá um limite inferior de .$i$$1/4$

Estou ciente de que o limite inferior é bastante fraco e provavelmente pode ser melhorado com um pouco mais de trabalho. Mas é um começo.