Complexidade do problema de monotonia (+, 2) SAT?


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Para continuar este post , vamos definir o problema Monotone -SAT:(+,2)

Dada uma fórmula monótona de CNF , em que cada variável aparece exatamente uma vez (como um literal positivo) e uma fórmula monotônica de 2-CNF definida nas mesmas variáveis ​​que , onde todas as variáveis ​​são negadas. É satisfiable?F+F2F+F+F2

Esse problema está completo?

Respostas:


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Isso é NP-completo. De fato, permanece NP-completo quando é restrito a estar no formato 3-CNF (não apenas CNF).F+

A prova é demonstrar que esse problema é pelo menos tão difícil quanto testar a capacidade de três cores de um gráfico. A correspondência é limpa e elegante. Seja um gráfico não direcionado. Introduza as variáveis , para e , para representar uma coloração 3 do gráfico. Aqui significa que atribuímos ao vértice a cor .G=(V,E)xv,cvVc{1,2,3}xv,cvc

Para representar que cada vértice deve receber pelo menos uma cor, introduziremos as cláusulas para cada vértice . Isso nos dá , ou seja,xv,1xv,2xv,3vF+

F+vV(xv,1xv,2xv,3).

Para representar que nenhum ponto final de uma única aresta pode receber a mesma cor, introduziremos uma cláusula para cada aresta . E, para representar que nenhum vértice pode receber mais de uma cor, introduziremos uma cláusula para cada tal que Seja a fórmula correspondente.¬xu,c¬xv,c(u,v)E¬xv,c¬xv,cc,c{1,2,3}cc.F2

F2(u,v)E(¬xu,c¬xv,c)vV,cc(¬xv,c¬xv,c).

Então é fácil ver que é satisfatório se e somente se tiver uma coloração 3. De fato, cada designação satisfatória de corresponde imediatamente a uma coloração 3 de e vice-versa. Portanto, testar a satisfação dessa classe de fórmulas é pelo menos tão difícil quanto testar a capacidade de três cores de um gráfico não direcionado, portanto é difícil para NP.F+F2GF+F2G


Sua correspondência com 3 cores é clara. Portanto, o problema monotônico SAT está claramente completo em NP. No entanto, ainda não está claro (para mim) que qualquer fórmula CNF Monotone pode ser equivalente a uma fórmula 3-CNF Monotone. (3+,2)
Xavier Labouze

boa redução!
Vor

@XavierLabouze, desculpe, você me perdeu. Não afirmei que toda fórmula CNF Monotone é equivalente a uma fórmula 3-CNF Monotone, e isso não é necessário em nenhuma etapa da minha redução. Eu uso o fato de que qualquer fórmula 3-CNF também é uma fórmula CNF (isso é trivial), da qual se segue que o problema na postagem original também é NP-completo.
DW

@DW Certo. Eu quis dizer que a redução de SAT para SAT não é tão clara quanto a de SAT para 3-SAT. (+,2-)(3+,2-)
Xavier Labouze

Eu estava procurando pelo menor exemplo explícito possível para SAT que é insatisfatório e verificável manualmente. Ficaria muito grato se você pudesse me ajudar com um ..? (3+,2)
TheoryQuest1
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