Complexidade do problema de monotonia (+, 2) SAT?

Para continuar este post , vamos definir o problema Monotone -SAT: $(+, 2^-)$

Dada uma fórmula monótona de CNF , em que cada variável aparece exatamente uma vez (como um literal positivo) e uma fórmula monotônica de 2-CNF definida nas mesmas variáveis que , onde todas as variáveis são negadas. É satisfiable? $F^+$ $F_2^-$ $F^+$ $F^+ \land F_2^-$

Esse problema está completo?

— Xavier Labouze
fonte

Isso é NP-completo. De fato, permanece NP-completo quando é restrito a estar no formato 3-CNF (não apenas CNF). $F^+$

A prova é demonstrar que esse problema é pelo menos tão difícil quanto testar a capacidade de três cores de um gráfico. A correspondência é limpa e elegante. Seja um gráfico não direcionado. Introduza as variáveis , para e , para representar uma coloração 3 do gráfico. Aqui significa que atribuímos ao vértice a cor . $G=(V,E)$ $x_{v,c}$ $v \in V$ $c \in \{1,2,3\}$ $x_{v,c}$ $v$ $c$

Para representar que cada vértice deve receber pelo menos uma cor, introduziremos as cláusulas para cada vértice . Isso nos dá , ou seja, $x_{v,1} \lor x_{v,2} \lor x_{v,3}$ $v$ $F^+$

F^{+} \equiv \underset{v \in V}{⋀} (x_{v, 1} \lor x_{v, 2} \lor x_{v, 3}) .

$F^+ \equiv \bigwedge_{v \in V} (x_{v,1} \lor x_{v,2} \lor x_{v,3}).$

Para representar que nenhum ponto final de uma única aresta pode receber a mesma cor, introduziremos uma cláusula para cada aresta . E, para representar que nenhum vértice pode receber mais de uma cor, introduziremos uma cláusula para cada tal que Seja a fórmula correspondente. $\neg x_{u,c} \lor \neg x_{v,c}$ $(u,v) \in E$ $\neg x_{v,c} \lor \neg x_{v,c'}$ $c,c' \in \{1,2,3\}$ $c\ne c'.$ $F^-_2$

F_{2}^{-} \equiv \underset{(u, v) \in E}{⋀} (\neg x_{u, c} \lor \neg x_{v, c}) \land \underset{v \in V, c \neq c^{'}}{⋀} (\neg x_{v, c} \lor \neg x_{v, c^{'}}) .

$F^-_2 \equiv \bigwedge_{(u,v) \in E} (\neg x_{u,c} \lor \neg x_{v,c}) \; \; \land \bigwedge_{v \in V,c\ne c'} (\neg x_{v,c} \lor \neg x_{v,c'}).$

Então é fácil ver que é satisfatório se e somente se tiver uma coloração 3. De fato, cada designação satisfatória de corresponde imediatamente a uma coloração 3 de e vice-versa. Portanto, testar a satisfação dessa classe de fórmulas é pelo menos tão difícil quanto testar a capacidade de três cores de um gráfico não direcionado, portanto é difícil para NP. $F^+ \land F^-_2$ $G$ $F^+ \land F^-_2$ $G$

— DW
fonte

Sua correspondência com 3 cores é clara. Portanto, o problema monotônico SAT está claramente completo em NP. No entanto, ainda não está claro (para mim) que qualquer fórmula CNF Monotone pode ser equivalente a uma fórmula 3-CNF Monotone.

(3^{+}, 2^{-})

$(3^+,2^-)$

— Xavier Labouze

boa redução!

— Vor

@XavierLabouze, desculpe, você me perdeu. Não afirmei que toda fórmula CNF Monotone é equivalente a uma fórmula 3-CNF Monotone, e isso não é necessário em nenhuma etapa da minha redução. Eu uso o fato de que qualquer fórmula 3-CNF também é uma fórmula CNF (isso é trivial), da qual se segue que o problema na postagem original também é NP-completo.

— DW

@DW Certo. Eu quis dizer que a redução de SAT para SAT não é tão clara quanto a de SAT para 3-SAT.

(+, 2^{-})

$(+,2^-)$

(3^{+}, 2^{-})

$(3^+,2^-)$

— Xavier Labouze

Eu estava procurando pelo menor exemplo explícito possível para SAT que é insatisfatório e verificável manualmente. Ficaria muito grato se você pudesse me ajudar com um ..?

(3^{+}, 2^{-})

$(3^+, 2^-)$

— TheoryQuest1