3-SAT, onde as variáveis ​​ocorrem igualmente muitas vezes como um literal positivo e como um literal negativo

Deixei $\phi$ ser uma fórmula 3-CNF sobre variáveis $x_1,x_2,\ldots,x_n$. Toda variável$x_i$, $i \in [n]$, ocorre igualmente muitas vezes como um literal positivo e como um literal negativo em $\phi$.

É NP-completo decidir a satisfação de tal fórmula? Supondo que seja, eu estaria interessado em saber se ele tem um nome especial. Talvez tenha sido também investigado em algum lugar?

O problema foi estudado como $m$P$n$Problema N-SAT de Ryo Yoshinaka em Correspondência de Ordem Superior no Cálculo Lambda Linear (na 16ª Conferência Internacional, RTA 2005, Nara, Japão, 19-21 de abril de 2005, Anais) .

o $m$P$n$N-SAT é um problema de SAT em que cada literal positivo ocorre exatamente $m$ vezes e cada literal negativo exatamente $n$vezes. Foi demonstrado que mesmo$2$P$1$N-SAT é NP-completo. Observe que$1$P$1$O N-SAT está em P, pois cada variável pode ser facilmente removida após uma única etapa de resolução, o que não aumenta o número de cláusulas na fórmula.

É NP-completo (mas não sei se tem um nome): suponha que uma variável $x_i$ aparece como um literal positivo $n$ mais vezes do que como um literal negativo.

Então você pode "equilibrar" adicionando $n$ novas cláusulas do 3CNF com $n$ novas variáveis $y_1,...,y_n$:

$-x_i \lor y_1 \lor -y_2$
$-x_i \lor y_2 \lor -y_3$
...
$-x_i \lor y_{n-1} \lor -y_n$
$-x_i \lor y_n \lor -y_1$

E se $x_i$ aparecer mais vezes como um literal negativo, aplique a mesma expansão, mas usando $x_i$ nas novas cláusulas do 3CNF em vez de $-x_i$.

o $y_i$ são balanceados e a fórmula resultante (que pode ser construída em tempo polinomial) é claramente satisfatória se e somente se a fórmula 3CNF original for satisfatória: seja qual for o valor de $x_i$ as novas cláusulas podem ser satisfeitas $y_i = true$, para que eles não "interfiram" na satisfação da fórmula original.