Conexão entre a função de prefixo KMP e o autômato de correspondência de cadeias

Seja o autômato de correspondência de cadeia para o padrão , ou seja$A_P = (Q,\Sigma,\delta,0,\{m\})$$P \in \Sigma^m$

• $Q = \{0,1,\dots,m\}$
• $\delta(q,a) = \sigma_P(P_{0,q}\cdot a)$ para todos os e$q\in Q$$a\in \Sigma$

com o comprimento do prefixo mais longo de que é um sufixo de , ou seja$\sigma_P(w)$$P$$w$

$\qquad \displaystyle \sigma_P(w) = \max \left\{k \in \mathbb{N}_0 \mid P_{0,k} \sqsupset w \right\}$ .

Agora, deixe $\pi$ a função de prefixo do algoritmo Knuth-Morris-Pratt , que é

$\qquad \displaystyle \pi_P(q)= \max \{k \mid k < q \wedge P_{0,k} \sqsupset P_{0,q}\}$ .

Como se vê, pode-se usar $\pi_P$ para calcular $\delta$ rapidamente; a observação central é:

Suponha noções acima e $a \in \Sigma$ . Para $q \in \{0,\dots,m\}$ com $q = m$ ou $P_{q+1} \neq a$ , isso significa que

$\qquad \displaystyle \delta(q,a) = \delta(\pi_P(q),a)$

Mas como posso provar isso?

Para referência, é assim que você calcula $\pi_P$ :

m ← length[P ]
π[0] ← 0
k ← 0
for q ← 1 to m − 1 do
  while k > 0 and P [k + 1] =6 P [q] do
    k ← π[k]
    if P [k + 1] = P [q] then
       k ← k + 1
    end if
    π[q] ← k
 end while
end for

return π

Antes de tudo, observe que, por definição

• $\delta(q,a) = \sigma_P(P_{0,q}\cdot a) =: s_1$ e
• $\delta(\pi_P(q),a) = \sigma_P(P_{0,\pi_P(q)}\cdot a) =: s_2$ .

Vamos investigar e em um esboço:$s_1$$s_2$

^{[ fonte ]}

Agora assuma ; isso contradiz a escolha máxima de diretamente. Se assumirmos que contradiz o fato de que tanto e são escolhidos no máximo, em particular porque . Como ambos os casos levam a contradições mantém, qed$s_2 > s_1$$s_1$$s_1 > s_2$ $s_2$$\pi_P(q)$$\pi_P(q) \geq s_1 - 1$$s_1=s_2$

Conforme solicitado, uma versão mais elaborada da prova:

Agora temos que mostrar ; fazemos isso mostrando que o oposto leva a contradições.$s_1=s_2$

• Suponha . Note-se que porque e por definição de . Portanto, - um prefixo de e um sufixo de - é maior que , que é por definição de o prefixo mais longo de esse é um sufixo de . Isso é uma contradição.$s_2 > s_1$$P_{0,s_2} \sqsupset P_{0,q}\cdot a$$P_{0,s_2} \sqsupset P_{0,\pi_P(q)}\cdot a$$P_{0,\pi_P(q)} \sqsupset P_{0,q}$$s_2$$P_{0,s_2}$$P$ $P_{0,q}\cdot a$$P_{0,s_1}$$s_1$$P$$P_{0,q}\cdot a$

Antes de continuarmos com o outro caso, vejamos que . Observe que, como , temos . Supondo que contradiga imediatamente a escolha máxima de ( está no conjunto é escolhido).$\pi_P(q) \geq s_1 - 1$$P_{0,s_1} \sqsupset P_{0,q}\cdot a$$P_{0,s-1} \sqsupset P_{0,q}$$\pi_P(q) < s_1 - 1$$\pi_P(q)$$s_1 - 1$$\pi_P(q)$

• Suponha . Acabamos de mostrar e lembre-se de que . Portanto, contradiz a escolha máxima de ( está no conjunto em que é escolhido).$s_1 > s_2$$|P_{0,\pi_P(q)}\cdot a| \geq s_1$$P_{0,\pi_P(q)}\cdot a \sqsupset P_{0,q} \cdot a$$s_1 > s_2$$s_2$$s_1$$s_2$

Como nem nem podem aguentar, provamos que , qed$s_1 > s_2$$s_2 > s_1$$s_1 = s_2$