MIN-2-XOR-SAT e MAX-2-XOR-SAT: são NP-hard?

Qual é a complexidade de e \ text {MAX-2-XOR-SAT} ? Eles estão em P? Eles são NP-difíceis?$\text{MIN-2-XOR-SAT}$$\text{MAX-2-XOR-SAT}$

Para formalizar isso com mais precisão, vamos

onde $\mathbf{x} = (x_1,\dots,x_m)$ e cada cláusula $C_i$ tem a forma $(x_i \oplus x_j)$ ou $(x_i \oplus \neg x_j)$ .

O problema $\text{2-XOR-SAT}$ é encontrar uma tarefa para $\mathbf{x}$ que satisfaça $\Phi$ . Esse problema está em $P$ , pois corresponde a um sistema de equações lineares mod $2$ .

O problema $\text{MAX-2-XOR-SAT}$ é encontrar uma atribuição para $\mathbf{x}$ que maximize o número de cláusulas que são atendidas. O problema $\text{MIN-2-XOR-SAT}$ é encontrar uma atribuição para $\mathbf{x}$ que minimize o número de cláusulas que são atendidas. Quais são as complexidades desses problemas?

Inspirado em MIN ou MAX-True-2-XOR-SAT NP-hard?

Desculpe por responder uma postagem antiga

O problema de determinar se uma instância de MONOTONE-2-XOR-SAT (todas as cláusulas são do tipo ) é satisfatório pode ser reduzido ao problema de determinar se um gráfico é bipartido, consulte isso .$({x_i}\oplus x_j)$

Para isso, criamos um gráfico com um nó para cada literal da fórmula e conectamos cada literal a outro se eles estiverem na mesma cláusula (arestas são cláusulas)$G$

Por exemplo:

Se tivermos uma fórmula insatisfatória que seja$({x_1}\oplus x_2) \wedge ({x_1}\oplus x_3) \wedge({x_2}\oplus x_3) \wedge ({x_1}\oplus x_4)$

Temos um gráfico como este:

isso não é bipartido

Existem três cláusulas que são satisfatórias e, portanto, temos apenas que eliminar uma vantagem

Agora, podemos reduzir o problema de determinar se podemos encontrar um subgrafo bipartido máximo com vértice para o problema de determinar se podemos satisfazer as cláusulas em uma fórmula MONOTONE-MAX-2XOR-SAT, veja isso . E o problema do subgráfico bipartido máximo é equivalente ao corte máximo$k$$k$

Para fazer a redução, simplesmente criamos um novo literal para cada vértice e criamos uma cláusula para cada aresta conectando dois literais

Por exemplo:

Nós temos esse gráfico,

Criamos a fórmula a seguir$({x_1}\oplus x_2) \wedge ({x_1}\oplus x_4) \wedge({x_2}\oplus x_4) \wedge ({x_2}\oplus x_3) \wedge ({x_4}\oplus x_5) \wedge ({x_3}\oplus x_5)$

Portanto, se pudermos encontrar uma atribuição que satisfaça as cláusulas isso significa que existe um subgrafo bipartido com pelo menos arestas.$k$$k$

Onde cada cláusula é fornecida apenas como , crie um vértice para cada literal , crie uma aresta entre dois vértices se existir um relacionamento XOR entre eles. Para que a declaração seja verdadeira, ela deve satisfazer . Agora podemos adotar o problema de coloração de vértices (não há dois vértices conectados por uma aresta com a mesma cor; só temos 2 cores adicionais se quisermos satisfazer a equação). A cláusula é verdadeira se os vértices correspondentes tiverem atribuído cores diferentes no gráfico.$(x_i\oplus x_j)$$x_i$$x_i\oplus x_j$$x_i\neq x_j$$x_i\oplus x_j$

Se todos os vértices do gráfico puderem ser coloridos usando duas cores e nenhum dos dois vértices com um compartilhamento de aresta comum tiver a mesma cor, a equação será satisfatória.

Mas um gráfico é bicolor se for um gráfico bipartido. E determinar se um gráfico é bipartido pode ser feito em tempo polinomial. Portanto, o problema está em P, porque, se pudermos determinar em tempo polinomial que o gráfico é bipartido, ele é solucionável, caso contrário, não é solucionável.