Conexão entre castabilidade e convexidade

Gostaria de saber se existe alguma conexão entre o polígono convexo e o objeto concreto? O que podemos dizer sobre a fundibilidade do objeto se soubermos que o objeto é um polígono convexo e vice-versa.

Vamos reunir algumas coisas básicas que precisamos saber.

O objeto é moldável se puder ser removido do molde.

O poliedro P pode ser removido de seu molde por uma translação na direção se e somente se fizer um ângulo de pelo menos com o normal externo de todas as facetas comuns de P .$\vec{d}$$\vec{d}$$90^{\circ}$

Para um objeto arbitrário, o teste de castability tem complexidade de tempo . Na minha opinião, para um polígono convexo, pode ser melhorado para o tempo linear, porque para cada nova faceta superior deveríamos testar se o vetor faz um ângulo de pelo menos com o normal externo nem tudo mas apenas de duas facetas comuns adjacentes de P.$O(n^2)$$\vec{d}$$90^{\circ}$

Se isso for verdade, pelo menos, temos melhorias nos testes de fundição em caso de polígono convexo.

Nós mais podemos afirmar sobre castability e convexidade. Especialmente interessante saber, se a castidade nos diz algo sobre convexidade.

Esta é uma resposta adequada, mas fique à vontade para me corrigir. Acho que não obtive as definições corretas. É por isso que começo com fatos simples que devem ser verificados primeiro.

Suponho que você está falando sobre -castability de um poliedro "aberto".$\vec v$

1. Na verdade, parece que não "fechado" poliedro é -castable.$\vec v$

2. Para cada , um poliedro convexo "fechado" sempre pode ser cortado em duas partes "abertas" entre um plano de normal que é -castable e -castable.$\vec v$$\vec v$$\vec v$$(-\vec v)$

3. O teste de -castability está em (mesmo que não seja convexo)$\vec v$$O(n)$

4. O problema (Existe um r é -castable?) Parece ser linearmente redutível ao casco convexo , que é em :$\vec v$$P$$\vec v$$O(n\log n)$

   1. Primeiro considere cada exterior em um ponto da esfera unitária.$\vec{n_i}$

   2. Calcule o casco convexo desses pontos.$H$

   3. Se a origem estiver em então para todos os , não pode ser -castable.$0$$H$$\vec v$$P$$\vec v$

   4. Se a origem não estiver em então será o vetor começando na projeção de em e terminando em . O vetor define um meio espaço que não contém nenhum dos o que significa que .$0$$H$$\vec v$$0$$H$$0$$\vec v$$\vec{n_i}$$(\vec v, \vec{n_i})>90°$

   5. Se a origem estiver na superfície de , faça o normal de em para .$0$$H$$H$$0$$\vec v$

não no casco convexo, se houver modo que$\vec v$

1. Se for convexo e "aberto" (o que quer que isso signifique), você precisará apenas da "fronteira" e da orientação correspondente. Você aplica o mesmo algoritmo acima na fronteira (mais o vetor de orientação), reduzindo a complexidade. Para um polígono, ele fica em se você já conhece os dois segmentos na fronteira.$P$$O(1)$

Espero que isto ajude.

Dos polígonos moldáveis ​​e moldáveis de Rappaport e Rosenbloom (1994). Dado os vértices do polígono no sentido horário, a moldabilidade 2 pode ser determinada no tempo O (n), a moldabilidade 2 pode ser determinada no tempo O (n).