Prove impressões digitais

Deixei $a \neq b$ sejam dois inteiros do intervaloSeja um primo aleatório comProve que $[1, 2^n].$ $p$ $1 \le p \le n^c.$

{Pr}_{p \in P r i m e s} {a \equiv b (\mod p)} \leq c \ln (n) / (n^{c - 1}) .

$\text{Pr}_{p \in \mathsf{Primes}}\{a \equiv b \pmod{p}\} \le c \ln(n)/(n^{c-1}).$

Dica: Como conseqüência do teorema do número primo, exatamente muitos números de são primos. $n/ \ln(n) \pm o(n/\ln(n))$ $\{ 1, \ldots, n \}$

Conclusão: podemos comprimir $n$ bits em $O(\log(n))$ bits e obter uma taxa falso-positiva bastante pequena.

Minha pergunta é como posso provar que

{Pr}_{p \in P r i m e s} {a \equiv b (\mod p)} \leq c \ln (n) / (n^{c - 1})

$\text{Pr}_{p \in \mathsf{Primes}}\{a \equiv b \pmod{p}\} \le c \ln(n)/(n^{c-1})$ ?

— user1374864
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Como a dificuldade parece estar na parte matemática, acho que essa pergunta seria mais à vontade na matemática . No entanto, dada a aplicação à compactação, acho que a pergunta também pode ser aceitável aqui. Estou aberto a migrar a pergunta porque ela se encaixa melhor em outro lugar ou a deixar aqui porque foi feita aqui e não é muito fora de tópico.

— Gilles 'SO- stop be evil'

Isto é publicado em Matemática .

— Kaveh

A probabilidade que um primo aleatório uniformemente escolhido entre e satisfaça é o número de primos nesse intervalo que satisfazem dividido pelo número total de primos nessa faixa. Escrevendo se for verdadeiro e se for falso e para o número de primos menor que : $P$ $1$ $n^c$ $a \equiv b \mod{p}$ $a \equiv b \mod{p}$ $[C] = 1$ $C$ $[C] = 0$ $C$ $\pi(x)$ $x$

P = \frac{\sum_{p \leq n^{c}} [p prime] [p ∣ (a - b)]}{π (n^{c})}

$P = \dfrac{\sum\limits_{p\le n^c} [p\text{ prime}] [p \mid (a-b)]}{\pi(n^c)}$

Desde , existem no máximo primos distintos que dividem . O teorema do número primo fornece diretamente um limite superior para o denominador. Assim: $|a-b| \le 2^n$ $n$ $a-b$

P \leq \frac{n}{n^{c} / \ln (n^{c}) + o (n^{c} / \ln (n^{c}))} = \frac{c \ln (n)}{n^{c - 1}} (1 + o (1))

$P \le \dfrac{n}{n^c/\ln(n^c) + o(n^c/\ln(n^c))} = \dfrac{c \ln(n)}{n^{c-1}} (1+o(1))$

Você não terá um limite exato de uma versão assintótica do teorema do número primo. Um limite exato, se não me engano, é para . Usando esse limite, vemos que se então $\pi(x) \gt \dfrac{x}{\ln(x)}$ $x \ge 11$ $n^c \ge 11$

P \leq \frac{c \ln (n)}{n^{c - 1}}

$P \le \dfrac{c \ln(n)}{n^{c-1}}$

Aplicação: podemos compactar (que leva bits para representar exatamente) armazenando para vários números primos aleatórios . Se usarmos primos escolhidos independentemente do valor de , então a representação requer bits para armazenar os valores modulo a cada escolha prime. A probabilidade de uma colisão em cada primo é no máximo . Avaliar como a precisão aumenta com exigiria uma análise mais aprofundada. $a \le 2^n$ $n$ $a \mod p$ $p_i$ $k$ $a$ $k \, \lceil c\,\log_2(n) \rceil = O(k \log(n))$ $c \ln(n) / n^{c-1} = O(\ln(n)/n^{c-1})$ $k$

— Gilles 'SO- parar de ser mau'
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