As funções são sempre assintoticamente comparáveis?

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Quando comparamos a complexidade de dois algoritmos, geralmente é o caso que ou (possivelmente ambos), onde e são os tempos de execução (por exemplo) dos dois algoritmos. $f(n) = O(g(n))$ $g(n) = O(f(n))$ $f$ $g$

Esse sempre é o caso? Ou seja, faz pelo menos um dos relacionamentos e segure sempre, que é para funções gerais , ? Caso contrário, quais suposições devemos fazer e (por que) tudo bem quando falamos sobre o tempo de execução do algoritmo? $f(n) = O(g(n))$ $g(n) = O(f(n))$ $f$ $g$

asymptotics mathematical-analysis

— Rafael
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Nem todo par de funções é comparável à notação ; Considere as funções e Além disso, funções como realmente surgem como tempos de execução de algoritmos. Considere o algoritmo óbvio de força bruta para determinar se um número inteiro é primo: $O(\cdot)$ $f(n) = n$

g (n) = {\begin{cases} 1 & if n is odd, \\ n^{2} & if n is even . \end{cases}

$g(n) = \begin{cases} 1 & \text{if $n$ is odd}, \\\ n^2 & \text{if $n$ is even}. \end{cases}$

g (n)

$g(n)$

n

$n$

IsPrime(n):
  for i ← 2 to (n-1)
     if i·⌊n/i⌋ = n
        return False
  return True

Este algoritmo requer as operações aritméticas quando é par, $\Theta(1)$ $n$ operações quandoé composto, masoperações quandoé primo. Assim, formalmente, esse algoritmo éincomparávelcom um algoritmo que usa $O(\sqrt{n})$ $n$ $\Theta(n)$ $n$ operações aritméticas paracada. $\sqrt{n}$ $n$

Na maioria das vezes, quando analisamos algoritmos, queremos apenas um limite superior assintótico da forma para alguma função relativamente simples . Por exemplo, a maioria dos livros didáticos informaria simplesmente (e corretamente) queé executada em operações aritméticas. Funções típicas de limite superior são produtos de exponenciais, polinômios e logaritmos (embora bestas mais exóticas, como fatoriais elogaritmos iterados,também apareçam ocasionalmente). Não é difícil provar que essas duas funções são comparáveis. $O(f(n))$ $f$ IsPrime(n) $O(n)$

Veja também esta pergunta do MathOverflow .

— JeffE
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Na wikipedia, definição de grande notação O:

se e somente se houver uma constante positiva M tal que, para todos os valores suficientemente grandes de , seja no máximo M multiplicado por em valor absoluto. Ou seja, se e somente se existir um número real positivo e um número real tal que $x$ $f(x)$ $g(x)$ $f(x) \in O(g(x))$ $M$ $x_0$

$|f(x)|<= M |g(x)| \quad \text{for all} \; x > x_0$

O que acontece com funções que não convergem (para uma constante nem infinito)?

Veja as funções e $f(x) = |xsin(x)|$ $g(x) = 10$

para cada , existe algum , tal que , portanto, - então, para cada - produzirá falso $x_0$ $x > x0$ $x = k\pi$ $f(x) = 0$ $M$ $Mf(x) > g(x)$ $g(x) \; \not\in O(f(x))$

No entanto, é fácil ver que também não é limitado por nenhuma constante; portanto, para cada , , há alguns modo que também produz falso, e $|xsin(x)|$ $M$ $x_0$ $x > x_0$ $f(x) < Mg(x)$ $f(x) \not\in O(g(x))$

Nota: por definição, se grande ó que permite que a diferença máxima entre constante e , a mesma ideia vai aplicar-se com $Mf(x)$ $g(x)$ $g(x) = \log(x)$

— amit
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Aqui está um par monotônico estão algumas funções que não são assintoticamente comparáveis. Isso é relevante porque a maioria das complexidades que surgem na prática é de fato monotônica.

f (x) = Γ (⌊ x ⌋ + 1 1) = ⌊ x ⌋!

$f(x) = \Gamma( \lfloor x \rfloor + 1 ) = \lfloor x \rfloor !$

g (x) = Γ (⌊ x - 1 1 / 2 ⌋ + 3 / 2)

$g(x) = \Gamma( \lfloor x-1/2 \rfloor + 3/2 )$

Aqui, é a função gama . A segunda função é especialmente construída para ser muito semelhante ao fatorial, apenas "amostrada" em pontos levemente deslocados na função gama. As funções se cruzam periodicamente de tal maneira que nenhuma delas é assintoticamente ligada pela outra. $\Gamma$

— Ambroz Bizjak
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$\mathcal{L}$ $\exp(2\sqrt{\log x + \log\log x})/x^2$ . Hardy provou que para cada duas funções $f,g \in \mathcal{L}$ que são positivos e tendem ao infinito, um dos seguintes é verdadeiro: $f = o(g)$ , $f = \omega(g)$ , $f/g$ tende a uma constante. Veja a página 18 de seu livro "Ordens do infinito".

O resultado é que quaisquer duas funções "simples" que ocorrem na análise do algoritmo são comparáveis. Aqui, "simples" significa que não há definição por casos (além de muitos casos-base finitos) e nenhuma função surpreendente aparece, como a função inversa de Ackermann, que às vezes aparece nos tempos de execução.

— Yuval Filmus
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Agradável! Vale ressaltar, no entanto, que elementos periódicos ocorrem com freqüência na análise de casos médios (do algoritmo d & c). As que eu conheço são ligadas por ambos os lados por constantes, para que não prejudiquem a comparabilidade assintótica.

— Raphael