Por que o TSP não exige repetição de cidades?

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Parece-me estranho que o TSP negue a possibilidade de cidades repetidas. O objetivo deste vendedor ambulante é ir o mais rápido possível e visitar todas as cidades, certo? E se for mais rápido viajar por uma cidade em que você já esteve?

terminology traveling-salesman

— danmcardle
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Tenho certeza que é arbitrário. Somente em casos raros, permitir cidades repetidas faria alguma diferença (nunca no TSP métrico). Portanto, os problemas não são diferentes. O motivo é provavelmente histórico.

— usar o seguinte código

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Eu ouvi o vendedor vende produtos realmente ruins e seria imprudente para atender seus clientes antigos :)

— SSCH

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Não importa exatamente como você o define, porque é apenas uma maneira de modelar um problema do mundo real. No TSP, você apenas tem um conjunto de cidades e o custo da viagem entre cada par deles. Isso não exclui a possibilidade de que, na situação do mundo real que você está modelando, a melhor rota entre B e C possa passar por A. Se esse foi o caso, sim, a rota que é modelada como ABCA no TSP pode muito bem envolve realmente conduzir A por um tempo extra no caminho de B a C, mas esses detalhes são abstraídos no modelo TSP.

— David Richerby
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Um ponto válido, mas eu gostaria de salientar que o TSP é frequentemente usado em situações do mundo real. O requisito de não repetição é perdoado ao implementar aplicativos do mundo real?

— Danmcardle

@danmcardle Depende da aplicação.

— Tom van der Zanden

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$c$ $2 c$ $c$ $c$

— Arnaud Casteigts
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\dots \to A \to \dots \to X \to A \to Y \to \dots,

$\cdots \to A \to \cdots \to X \to A \to Y \to \cdots,$

A

$A$

A

$A$

X

$X$

Y

$Y$

\dots \to A \to \dots \to X \to Y \to \dots .

$\cdots \to A \to \cdots \to X \to Y \to \cdots.$

$X$ $Y$ $A$ $X \to Y$ $A$ $A$ $A$ $A$ $A$

Algoritmos reais para TSP podem ter essa etapa de "pegar atalhos", por exemplo, o algoritmo de Christofides. Veja, por exemplo, esta descrição ou essa conta mais curta .

— Yuval Filmus
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A, X_{1}, \dots, X_{n}

$A, X_1, \dots, X_n$

d (A, X_{i}) = 1

$d(A, X_i)=1$

d (x_{i}, x_{j}) = 100

$d(x_i,x_j)=100$

i, j

$i, j$

A X_{1} A X_{2} A \dots A X_{n} A

$AX_1AX_2A\dots AX_nA$

2 n + 1

$2n+1$

A X_{1} \dots X_{n} A

$AX_1\dots X_nA$

100 n - 98

$100n-98$

Certamente, mas (1) o OP parece interessado em aplicativos reais do TSP, que são métricos, e (2) TSP não métrico não é tão interessante (já que é muito difícil).

— Yuval Filmus

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O TSP do mundo real @YuvalFilmus não é uma métrica necessária. Algumas vezes viajam de A para B vai demorar mais tempo, em seguida, AC + CB, pois há tráfego na estrada de A para B.

— Ilya gazman

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(A, B)

$(A,B)$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

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Não há resposta geral para isso, exceto "as pessoas não são estúpidas". Eles aplicarão a solução adequada à sua situação. Raramente as pessoas estão preocupadas com o problema do vendedor ambulante. No caso clássico, um vendedor do mundo real estaria mais preocupado com o problema de maximizar sua renda durante um determinado período de tempo, dentro de um conjunto específico de restrições. Neste caso do problema, a distância total percorrida é apenas um dos vários fatores que levam a encontrar a resposta ideal.

— J. Antonio Perez
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Se repetições são permitidas, basta examinar todas as conexões X -> A -> Y, e se for menor que X -> Y, substitua o comprimento de X -> Y pelo comprimento de X -> A -> Y e resolva o problema resultante com o algoritmo padrão. Eu acho que você deve repetir o processo de substituição até que não haja alterações, porque se você encontrar uma conexão mais curta X -> Y, isso pode significar que agora X -> Y -> Z é mais curto que X -> Y.

Acompanhe as conexões que você alterou, faça as conexões na solução e, se a solução contiver X -> Y, substitua-a por X -> A -> Y.

PS. Acho que minha ideia é ótima, mas não tenho muita certeza no momento de que esteja correta. Como X -> A -> Y, em vez de X -> Y, não é apenas um atalho, mas também abrange a cidade A.

— gnasher729
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