Por que Akra-Bazzi precisa que a função de pedágio g seja limitada?

Seguindo a resposta de vonbrand, quero escrever um pequeno documento sobre teoremas mestres mais fortes para nossos alunos, um dos quais é o teorema de Akra-Bazzi. Copiei o teorema do trabalho deles [1] e encontrei - além de uma pequena confusão notacional² - o seguinte problema.

Os autores exigem (grifo meu):

$g(x)$ é definido para os valores reais e é uma função limitada , positiva e não decrescente $x$$\forall x \geq 0$

Aqui, é a função de pedágio, ou seja, a recorrência tem a forma$g$

$\qquad\displaystyle T(n) = g(n) + \sum_{i=1}^k a_i T\bigl(\lfloor n b_i^{-1} \rfloor\bigr)$ .

Agora, no final de seu artigo (p209), eles dão vários exemplos para aplicar seu resultado e usam funções em que claramente não são delimitadas.$\Omega(n)$

Ao examinar a prova, eles parecem exigir principalmente que integrais do formulário

$\qquad\displaystyle \int_a^b \frac{g(x)}{x^{p+1}} dx$

tem valores finitos. Portanto, exigir que seja limitado em cada intervalo compacto pode ser suficiente; Não trabalhei com a prova em detalhes. É possível que eles digam isso?$g$

Minha pergunta é: como o teorema de Akra-Bazzi deve ser declarado para que seja consistente com provas e exemplos?

1. Sobre a solução de equações de recorrência linear por M. Akra e L. Bazzi (1998)
2. Eles exigem . Isso é alguma notação que eu não conheço ou um erro de digitação? Presumo que o significado pretendido seja .$a_i \in R^{*+}$$(0,\infty) \subseteq \mathbb{R}$

Dê uma olhada nas anotações de Tom Leighton , referenciadas no artigo da Wikipedia. Suas anotações aparentemente têm menos erros de digitação que o artigo original. A condição que ele exige de é ter crescimento polinomial , o que significa que, se você dimensionar o argumento por uma constante, a quantidade que a função dimensiona também será limitada por uma constante.$g$

A melhor versão do teorema de Akra-Bazzi que eu vi é a de Lehman, Leighton, Meyer "Matemática para Ciência da Computação" , a discussão começa na página 1019. Uma versão impressa (mais antiga) está disponível. Nenhuma prova, no entanto. Seria necessário ler a nota de Leighton para verificar se as notas da aula / versão do livro estão corretas (possui condições um pouco diferentes, que são muito mais fáceis de verificar).