Minimização do comprimento da fiação

Meu problema é assim:

1. Eu tenho um layout físico representado como um gráfico. Os nós representam ganchos / dutos onde um fio pode ancorar e as arestas são a conexão possível entre 2 nós de onde o fio pode ir.

2. Existem alguns nós especiais, chamados divisores, nos quais um único fio pode ser dividido em 2 ou mais até k. O k pode ser considerado constante por enquanto, mas varia de nó para nó. Nem todos os nós são divisores.

3. Existe uma fonte de energia de onde um fio emergirá. É a fonte. O fio deve ser levado para n pias.

4. Uma aresta pode levar qualquer número de fios que a atravessem em qualquer direção.

5. O comprimento total do fio deve ser minimizado.

6. A natureza do gráfico, planar ou euclidiana não é conhecida.

Exemplo : Abaixo está uma rede de amostra. Os nós são nomeados como números e as arestas são fornecidas com pesos iguais de 1. A origem é Nó1 e os Pias são Nó5, Nó9 e Nó13. No caso 1 Nó6 é o nó Divisor. No caso 2 Nó6 e Nó4 são nós divisores. O nó divisor é k = 3, ou seja, pode receber um fio e dividi-lo em 3 fios.

Caso 1 . Apenas um nó divisor. Faz sentido dividir no Nó6.

Caso 2 . Nó de dois divisores. Faz sentido dividir no Nó4 em vez do Nó6.

Estou procurando estratégias diferentes para descobrir uma solução genérica para esse problema. O gráfico apresentado aqui é de menor escala em comparação com o problema em questão. O gráfico é estático e não pode ser alterado (a solução não deve sugerir nenhuma nova aresta ou propor uma nova localização do divisor). Qualquer referência a trabalhos de pesquisa publicados sobre esse tipo de problema também é bem-vinda.

Caso 3 . Nó de dois divisores. Faz sentido dividir no Nó4 e Nó14. Observe que este gabinete possui pesos de borda alterados para o Edge 8-12, 6-10 e 10-11. O importante neste caso é refazer um fio depois de ser dividido do Nó14.

Esse problema é difícil de NP.

Suponha que todo vértice é um divisor que pode ser dividido em qualquer número de graus; então, seu problema é precisamente o problema da árvore Steiner em um gráfico , onde o conjunto de vértices de origem e de afundamento são os vértices necessários.

$i$$k_i$

A simplificação é que você pode eliminar todos os nós intermediários (quadrados). Crie um gráfico apenas com o nó de origem, os nós do coletor e os nós do divisor.

1. No gráfico original, encontre o caminho mais curto do nó de origem para cada nó divisor e adicione uma aresta no novo gráfico do nó de origem ao nó divisor com esse comprimento.

2. $i$$j$$i$$j$$i$$j$

3. $i$$j$$i$$j$$i$$j$

$N$$i$$k_i$

$k_i$

@Chao Xu, também achei Steiner a aproximação mais próxima do meu problema. Estou explorando sistemas baseados em Ant para resolver esse problema.