Máximos de diagonais em uma matriz classificada em colunas e em linhas

Deixei $\{a_i\}$ e $\{b_i\}$ ser sequências não decrescentes de números inteiros não negativos.

Com que velocidade se pode encontrar para todos os ?

Ingenuamente, leva $O(n^2)$ tempo, mas espero que a monotonicidade possa ajudar aqui.

É fácil observar que $\{c_i\}$ também não diminui. Se considerarmos a matriz $M$ que $M_{i,j} = a_i+b_j$ , ela é uma matriz classificada na direção da linha e da coluna e estamos procurando o elemento máximo em todas as diagonais.

No entanto, se for uma matriz arbitrária de colunas e de linhas, este problema exigirá tempo $\Omega(n^2)$ .

Prova: Deixe todos os números abaixo da diagonal principal serem $\infty$ . Os elementos na $k$ ésima diagonal são números aleatoriamente de $(k,k+1)$ . A leitura de qualquer entrada não fornece informações para nenhuma outra entrada.

Edit: Este problema é muito mais difícil do que eu imaginava. Podemos modelar esse problema como um problema de convolução ao longo do semiring $(\min,+)$ (pegue o dual, pesquise min em vez de max) e ele pode ser resolvido em $O(\frac{n^2}{\log n})$ tempo, de acordo com a resposta de Ryan Williams no mathoverflow . Porém, ele não usa as informações de que a sequência não diminui.

Ótima pergunta! "Transformações de distância de funções amostradas", de Felzenszwalb e Huttenlocher, mostra como calcular isso em .$O(n \lg n)$

"Colares, convoluções e X + Y", de Bremner et al. mostra um algoritmo para esse problema na RAM real e um algoritmo no modelo de árvore de decisão linear não uniforme.$O\left(\frac{n^2}{\frac{\lg^2 n}{(\lg \lg n)^3}}\right)$$O(n \sqrt{n})$