Círculo máximo máximo de um determinado raio

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Eu tento encontrar uma abordagem para o seguinte problema:

Dado o conjunto de pontos e raio , encontre o ponto central do círculo, de modo que o círculo contenha o número máximo de pontos do conjunto. O tempo de execução deve ser . $S$ $r$ $O(n^2)$

A princípio, parecia ser algo semelhante ao menor problema de círculo fechado, que facilmente pode ser resolvido em . A idéia era estabelecer um centro arbitrária e envolver todos os pontos de . Em seguida, passo a passo, substitua o círculo para tocar nos pontos mais à esquerda / direita e reduza o círculo ao raio especificado, obviamente, isso não vai funcionar. $O(n^2)$ $S$

algorithms computational-geometry

— com
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Não sei como resolver esse problema no tempo , mas existe um algoritmo . $O(n^2)$ $O(n^2\log n)$

Seja o círculo cujo centro é , o ésimo ponto, com raio . Não é difícil descobrir que o conjunto de pontos possa ser delimitado por um círculo com raio se a interseção de $C(s_i)$ $s_i$ $i$ $r$ $P = \{p_0, p_1, \ldots, p_m\}$ $r$ $I(P)$ não está vazio. Além disso, se não estiver vazio, deve haver alguns pontos em colocados em algum (o limite de ). Portanto, para cada e cada ponto em sua ligação, tentamos descobrir quantos círculos contêm . A contagem máxima entre todos os será a resposta para esse problema. $C(p_0), C(p_1), \ldots, C(p_m)$ $I(P)$ $I(P)$ $\textbf{bd}C(p_i)$ $C(p_i)$ $C(s_i)$ $p$ $p$ $p$

Vamos examinar os pontos em . Existe um mapeamento individual entre os pontos em e o número real em . Para cada círculo , a interseção entre e pode ser representada por um intervalo $\textbf{bd}C(s_i)$ $\textbf{bd}C(s_i)$ $[0, 2\pi)$ $C(s_j)$ $C(s_j)$ $\textbf{bd}C(s_i)$ . Portanto, para todos os círculos que não sejam , há no máximo intervalos (alguns círculos podem não se cruzar com ). A contagem máxima pode ser encontrada facilmente, classificando todos os pontos finais do intervalo, varrendo-os em ordem e contando o número sobreposto atual. Para cada , esta etapa pode ser realizada em $[begin_j, end_j]$ $C(s_i)$ $n-1$ $C(s_i)$ $2(n-1)$ $C(s_i)$ time, e existem tais círculos, portanto, a complexidade do tempo desse algoritmo é . $O(n\log n)$ $n$ $O(n^2\log n)$

— Wu Yin
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A disposição dos círculos pode ser construída no tempo

(com alta probabilidade) usando um algoritmo incremental aleatório padrão. De fato, o tempo de execução é

, onde

é o número de pares de círculos que se cruzam. Veja seu livro de geometria computacional favorito.

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (n \log n + k)

$O(n\log n + k)$

k

$k$

— 1011 JeffE

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Acho que as perguntas difíceis são saber se o círculo que você selecionou é realmente "máximo" dentro do conjunto. A única maneira de pensar para determinar isso é tentar todas as combinações possíveis dos pontos e testar o tamanho do círculo que os envolve.

Você pode reduzir o espaço de pesquisa dividindo primeiro o espaço do ponto em uma grade de células quadradas com largura 2r. Em seguida, localize a célula com a maior densidade. Como você já localizou um círculo de X pontos, pode concluir que, se um círculo existir com mais pontos, ele deverá ter pelo menos X pontos. E use isso como ponto de partida para testar as diferentes combinações dos pontos.

Se você estiver procurando apenas um conjunto de pontos que provavelmente seja o máximo, poderá reduzir ainda mais o número de combinações que precisa testar selecionando aqueles que se enquadram em uma vizinhança de células onde a densidade da vizinhança é maior que X.

Dito isto, ambas as "reduções" podem falhar e, na pior das hipóteses, você estará computando círculos para todas as combinações possíveis de pontos.

— putnampp
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$O(n^2)$

$2n^2$ $O(n^2log(n))$

$O(n^2)$ $O(n^2)$

$V + E - F = 2$ $O(n^2)$

— stack99
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Se isso deve ser lido como um complemento à resposta aceita e não deve ser lido por si só (o que eu não sei, por desconhecer esse tópico), você deve ser explícito.

— 31515 babou