Particionar um idioma regular infinito em 2 idiomas regulares infinitos separados

Dada qualquer linguagem regular infinita $L$, como posso provar que $L$ pode ser particionado em 2 idiomas regulares infinitos separados $L_1, L_2$? Isso é:$L_1 \cup L_2 = L$, $L_1 \cap L_2 = \varnothing$e $L_1$ e $L_2$ são infinitos e regulares.

Até agora, pensei em:

1. usando o lema de bombeamento tal que

   $$\begin{gather} L_1 &= \{ xy^nz \mid \text{\(n\) is even} \} \\ L_2 &= \{ xy^mz \mid \text{\(m\) is odd} \} \\ \end{gather}$$ mas não conseguiu provar que eles são unidos ou cobrem $L$ completamente.

2. Usando as partições de idioma regulares $\Sigma^*$ em classes de equivalência conjuntas, mas ainda não descobri como determinar se uma classe de equivalência é regular ou infinita.

Deixei $S = \{ |w| : w \in L \}$. O teorema de Parikh mostra que$S$é um conjunto eventualmente periódico. Seja o período final$\ell$. Desde a$L$ é infinito, há algum deslocamento $a$ de tal modo que $a + k\ell \in S$ para todos $k \geq 0$. Assim a linguagem$L_1 = \{ w \in L : |w| \equiv a \pmod{2\ell} \}$é infinito (contém todas as palavras de comprimento por alguns ), e o idioma também é infinito (contém todas as palavras de comprimento para alguns , bem como possivelmente outras palavras). Vou deixar você mostrar que são regulares.$a + 2k\ell$$k \geq 0$$L_2 = L \setminus L_1$$a + (2k+1)\ell$$k \geq 0$$L_1,L_2$

Todo idioma comum é aceito por algum DFA mínimo. Para um idioma regular infinito , vamos chamar de DFA . Considere qualquer estado que podem ser visitados mais de uma vez durante o processamento de uma string em . Se puder ser visitado mais de uma vez, segue-se que ele pode ser visitado inúmeras vezes. Defina e Este é um DFA, portanto, há apenas um caminho. Qualquer string em$L$$M_L$$q$$L$$q$

$$L_1 = \{w \in L \mid q\text{ is visited an odd number of times}\}$$ $$L_0 = \{w \in L \mid q\text{ is visited an even number of times}\}$$ $L$é aceito pelo DFA e deve visitar o estado várias vezes (talvez zero). O estado pode ser visitado um número ilimitado de vezes; portanto, sabemos que existem infinitas sequências de caracteres em (já que existem palavras que fazem com que o estado seja visitado 1 vez, 3 vezes etc.) e que existem infinitas sequências de caracteres em (pois existem palavras que causam o estado a ser visitado 0 vezes, 2 vezes, etc.). Qualquer sequência especificada está em ou e não pode estar em ambas, portanto . No entanto, qualquer palavra em é garantido para ser em um destes dois conjuntos, de modo .$L_1$$L_0$$L_1$$L_0$$L_0 \cap L_1 = \emptyset$$L$$L_0 \cup L_1 = L$