Problema computacional difícil em classe especial de gráficos bipartidos

Estou interessado nas propriedades de uma classe de gráficos bipartidos que todos os nós em são 3-regulares, todos os nós em são 2-regulares e. Primeiro, essa é uma classe bem conhecida de gráficos? Em segundo lugar,$G(X \cup Y, E)$$X$$Y$$|X|=|2Y/3|$

Existe um exemplo de problema computacional intratável restrito a essa classe de gráficos bipartidos?

Dado um gráfico 3-regular você pode construir um gráfico bipartido com as propriedades necessárias escolhendo e e para cada aresta adicione arestas . Então eu acho que você pode encontrar alguns problemas difíceis a partir de problemas difíceis em gráficos tridimensionais.$G = \{V,E\}$$G'$$X = V$$Y = E$$e_k = (u_i,u_j) \in E$$(u_i, e_k), (e_k, u_j)$

Por exemplo, SUBGRAPH ISOMORPHISM é NP-difícil para sua classe de gráficos.

A redução é do ciclo hamiltoniano em gráficos tridimensionais: dado um gráfico tridimensional , construa o e verifique se há um subgrafo que é um ciclo simples fechado de comprimento. tem um subgráfico isomórfico para se e somente se tiver um ciclo hamiltoniano.$G$$G' = \{X \cup Y, E'\}$$H'$$2|V|$$G'$$H'$$G$

Esses gráficos são os gráficos de incidência de gráficos cúbicos, também conhecidos como 2 trechos de gráficos tridimensionais. Vou escrever para o gráfico incidência de  .$I(G)$$G$

Dado um gráfico  e um número inteiro  , é NP completo determinar se o número de cruzamentos de é no máximo  (ou seja, se pode ser desenhado no plano com no máximo  arestas cruzadas), mesmo que  seja restrito a ser cúbico. Claramente, o número de cruzamento não é afetado pela adição de um vértice extra no meio de cada aresta. (Fonte: Hlineny, "O número de cruzamento é difícil para gráficos cúbicos", J. Combin. Theor. B 96 (4): 455–471; DOI .)$G$$k$$G$$k$$G$$k$$G$

É possível que o problema de largura de banda desses gráficos seja NP-completo, pois é NP-completo para árvores em que todo vértice possui grau no máximo três. (Fonte: problema GT40 em Garey e Johnson para gráficos gerais; para árvores de baixo grau, Garey, Graham, Johnson e Knuth, "Resultados de complexidade para minimização de largura de banda", SIAM J. Appl. Math. 34: 477-495; Citeseer . )

Vários problemas de gráficos completos de NP permanecem assim nos gráficos cúbicos e isso leva a problemas completos de NP nos gráficos de incidência correspondentes que são razoavelmente naturais. Por exemplo, perguntar se um gráfico cúbico  tem um conjunto dominante de tamanho no máximo  é equivalente a perguntar se é uma união de no máximo  cópias de . Da mesma forma, um conjunto independente no gráfico cúbico corresponde a um conjunto de cópias de em .$G$$k$$I(G)$$k$$I(K_{1,3})$$I(K_{1,3})$$I(G)$