Árvore de abrangência mínima versus caminho mais curto

Qual é a diferença entre o algoritmo mínimo de spanning tree e um algoritmo de caminho mais curto?

Na minha classe de estruturas de dados, cobrimos dois algoritmos de spanning tree mínimo (Prim e Kruskal) e um algoritmo de caminho mais curto (Dijkstra).

Árvore de abrangência mínima é uma árvore em um gráfico que abrange todos os vértices e o peso total de uma árvore é mínimo. O caminho mais curto é bastante óbvio, é o caminho mais curto de um vértice para outro.

O que eu não entendo é que, uma vez que a árvore de abrangência mínima tem um peso total mínimo, os caminhos na árvore não seriam os caminhos mais curtos? Alguém pode explicar o que estou perdendo?

Qualquer ajuda é apreciada.

$x,y,z$$\{x,y\},\{x,z\},\{y,z\}$$1$$\{x,y\},\{y,z\}$$\{x,z\}$

Em conclusão, se você montar todos os caminhos mais curtos, não terá necessariamente uma árvore.

Você está certo de que os dois algoritmos de Dijkstra (caminhos mais curtos de um único nó inicial) e Prim (árvore de abrangência de peso mínimo iniciando em um determinado nó) têm uma estrutura muito semelhante. Ambos são gananciosos (pegam a melhor aresta do ponto de vista atual) e constroem uma árvore que mede o gráfico.

O valor que eles minimizam, no entanto, é diferente. Dijkstra seleciona como borda seguinte a que sai da árvore para um nó ainda não escolhido mais próximo ao nó inicial. (Então, com essa opção, as distâncias são recalculadas.) Prim escolhe como borda a mais curta que sai da árvore construída até agora. Portanto, ambos os algoritmos escolheram uma "borda mínima". A principal diferença é o valor escolhido para ser mínimo. Para Dijkstra, é o comprimento do caminho completo, do nó inicial ao nó candidato, para Prim, é apenas o peso dessa aresta única.

$x,y,z$$\{x,y\}$$\{x,z\}$$\{y,z\}$$x$$\{x,y\}$$\{x,z\}$$\{x,y\}$$\{y,z\}$

Quanto a Kruskal , isso é um pouco diferente. Ele resolve a árvore de abrangência mínima, mas durante a execução escolhe arestas que podem não formar uma árvore, elas apenas evitam ciclos. Portanto, as soluções parciais podem ser desconectadas. No final, você recebe uma árvore.

Embora a computação dos algoritmos Spanning Tree Mínimo e Shortest Path pareça semelhante, eles se concentram em 2 requisitos diferentes.

No MST, o requisito é atingir cada vértice uma vez (criar árvore de gráficos) e o custo total (coletivo) de atingir cada vértice deve ser o mínimo entre todas as combinações possíveis.

No caminho mais curto, o requisito é alcançar o vértice de destino do vértice de origem com o menor custo possível (menor peso). Portanto, aqui não nos preocupamos em atingir cada vértice, apenas nos concentramos nos vértices de origem e destino e é aí que reside a diferença.

Aqui está o exemplo para esclarecer por que o MST não fornece necessariamente o caminho mais curto entre 2 vértices.

(A)----5---(B)----5---(C)
 |                     |
 |----------7----------| 

No caso MST, as bordas AB. O BC estará no MST com peso total de 10. Portanto, o custo para atingir A a C no MST é 10.

Porém, no caso do Caminho Mais Curto, o caminho mais curto entre A e C é AC, que é 7. AC nunca esteve no MST.

A diferença está no que é o objetivo final desses algoritmos -

Dijkstra's - Aqui o objetivo é chegar do início ao fim. Você está preocupado apenas com esses 2 pontos e otimize seu caminho de acordo.

Krusal's - Aqui você pode começar de qualquer ponto e visitar todos os outros pontos do gráfico. Portanto, nem sempre você pode escolher o caminho mais curto para dois pontos. Em vez disso, o foco é escolher o caminho que o levará a um caminho mais curto para todos os outros pontos.

Eu acho que um exemplo tornará mais claro ..

A árvore se estende abaixo. Isso ocorre porque, se somarmos as arestas nessa configuração, obteremos o menor custo total possível : 2 + 5 + 14 + 4 = 25.

(1)   (4)
  \   /
   (2)
  /   \
(3)   (5)

Ao olhar a árvore de abrangência, você pode pensar falsamente que ela oferece os caminhos mais curtos, mas na prática ela não oferece. Como exemplo: se quiséssemos ir do nó (1)para (4)o custo, nos custaria 7. No entanto, se usássemos o algoritmo de Dijkstra no gráfico original, descobriríamos que podemos ir diretamente do nó (1)para o (4)custo de 5.

Exemplo prático para mostrar a diferença>

Suponha que você chegue de trem a uma cidade e queira chegar ao seu hotel.

Opção 1: Pegue um táxi: O táxi seguirá o caminho mais curto até o hotel da estação. Se o motorista seguir um caminho ao longo do caminho mais curto, centralizado na estação.

Opção 2: Pegue um ônibus. A empresa de ônibus quer atender muitas pessoas, não apenas você. O caminho ideal incluiria todos os pontos-chave da cidade. Por isso, seguirá (*) um caminho ao longo da árvore de abrangência mínima. É por isso que o ônibus é mais lento, mas como os custos são compartilhados, é mais barato.

(*) Na verdade, as pessoas reclamariam se a árvore de abrangência mínima fosse usada (a viagem de ônibus seria muito longa). Portanto, na prática, seria uma solução mista e usaria uma Árvore Alfa (a meio caminho entre uma árvore de abrangência mínima e uma árvore de caminho mais curto).

Eles são baseados em duas propriedades diferentes. A extensão mínima da árvore é baseada na propriedade de corte, enquanto o Caminho mais curto se baseia na propriedade de relaxamento da borda.

Um corte divide um gráfico em dois componentes. Pode envolver várias arestas. No MST, selecionamos a aresta com o menor peso.

O relaxamento das bordas diz que, dado que eu sei a distância entre A e B: dist (a, b) e dist entre A e C: dist (a, c), se dist (a, b) + borda (b, c) for menor que dist (a, c), então eu posso relaxar a borda (ac). Depois de relaxar todas as bordas, obtemos o caminho mais curto.

Eu recomendo assistir ao vídeo sobre algoritmos gráficos do professor Robert Sedgewick.