Reconstruindo gráficos da distribuição de graus

Dada uma distribuição de graus, com que rapidez podemos construir um gráfico que segue a distribuição de graus dada? Um esboço de link ou algoritmo seria bom. O algoritmo deve relatar um "não" caso nenhum gráfico possa ser construído e qualquer exemplo, se vários gráficos puderem ser construídos.

algorithms graphs graph-theory

— singhsumit
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Bem-vinda! Como é dada a "distribuição de graus"? Como distribuição estocástica, como lista de graus, ...?

— Raphael

Veja o Exercício 2.6 aqui . É fornecido um algoritmo para criar um gráfico a partir de uma sequência de graus.

— Utdiscant 17/05

Para esclarecer o comentário de Raphael, quando leio a distribuição de graus , penso em uma distribuição probabilística em graus. Como menciona utdiscant, a sequência de graus é provavelmente o que você deseja. Se você quer dizer o sentido probabilístico, provavelmente está procurando algum algoritmo de construção aleatório que tente "aproximar" a distribuição. Não faz muito sentido para mim "denunciar um não" nessa configuração, porém, porque acho que a maioria dos gráficos será algum tipo de discrepância?

— Lucas Cook

E se você realmente deseja gerar um gráfico com uma determinada distribuição de graus, este artigo parece ter o truque. Parece que o algoritmo descrito no meu comentário anterior, na verdade é o algoritmo Havel-Hakimi na resposta de Wu Yin.

— Utdiscant

Respostas:

Se você quer dizer como construir um gráfico tão simples (sem auto-loops e sem arestas paralelas), talvez o teorema de Havel-Hakimi seja o que você está procurando. Você mesmo pode pesquisar no Google e a página da Wikipedia Degree (teoria dos grafos) também é útil.

— Wu Yin
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obrigado. Sim página wiki é útil neste caso ..

— singhsumit

Se o grau de distribuição é dado como uma lista de grau, então você pode fazer o seguinte, dado nós com graus $n$ : $d_1, ... ,d_n$

Crie um gráfico completo em vertices. Para cada vértice em , divida-o em cópias. Dividir aqui significa criar um número de cópias com arestas para cada vértice com aresta, mas sem arestas para outras cópias de . Se , em seguida, simplesmente remover o vértice. No novo gráfico, chame esses vértices de para . $K_n$ $n$ $v_i$ $K_n$ $d_i$ $v_i$ $v_i$ $d_i = 0$ $v_{ij}$ $1 \leq j \leq d_i$

Quando terminar, você terá um gráfico muito denso em vértices; chamar este gráfico . Escolha o seu algoritmo de favorito para o máximo de correspondência (desde o gráfico é tão densa, você provavelmente deve usar um dos algoritmos baseados rápido matriz de multiplicação) e executá-lo em . Isso retornará uma correspondência $N = d_1 + ... + d_n$ $H$ $H$ . Se a correspondência não for perfeita (ou seja, se ela não cobrir todos os vértices), sua distribuição de graus será impossível; então retornenão. $M$

Se você tem uma correspondência perfeita , em seguida, remover todas as bordas não em de , e, em seguida, para cada mesclar a muitos vértices em um vértice $M$ $M$ $H$ $1 \leq i \leq n$ $d_i$ $v_{i1}, ... , v_{id_i}$ $u_i$ . Mesclar dois vértices significa combiná-los em um, de modo que o vértice resultante tenha arestas em todos os vértices em que pelo menos um dos originais tenha arestas. Chame o gráfico resultante ; tem a distribuição de graus desejada. $G$

$O(N^\omega)$ $\omega$ $2.373$ $O(n^{2\omega})$

— Artem Kaznatcheev
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De sua explicação (bastante clara), não está absolutamente claro por que a multiplicação de matrizes entra na equação.

— Raphael

A multiplicação da matriz @Raphael é uma das maneiras de resolver a correspondência máxima e é o método preferido para gráficos densos, já que a melhor versão do algoritmo de correspondência de Edmonds é executada em

O (\sqrt{| V |} | E |)

$O(\sqrt{|V|}|E|)$ o que daria

O (N^{2.5})

$O(N^{2.5})$ para esse problema, já que

H

$H$ é bem denso. Portanto, se você tiver acesso a uma boa multiplicação rápida de matrizes (ou trabalhando com uma linguagem orientada a matrizes como o Matlab), usaria a abordagem matricial de Mucha e Sankowski para a correspondência.

— Artem Kaznatcheev 17/05/12