Sempre há uma complexidade do Big Oh estritamente entre outros dois?

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Estou aprendendo sobre análise assintótica e vi algumas complexidades de aparência exótica vivendo entre outras comuns. Por exemplo, "log log n" é estritamente entre 1 e log n. Isso me faz pensar se sempre podemos encontrar complexidades entre os outros dois.

Especificamente, para quaisquer funções feg com O (f) ⊂ O (g) sempre existe um h tal que O (f) ⊂ O (h) ⊂ O (g)?

Isso não é lição de casa ou algo assim. Só estou curioso se alguém souber.

complexity-theory time-complexity asymptotics

— begriffs
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Sim: faça uma função no meio, para obter uma definição adequada de meio. Você tem uma grande variedade.

Se $O(f) \subset O(g)$ (onde a inclusão é estrita), então $g \in O(g) \setminus O(f)$ (porque se $g \in O(f)$ e $f \in O(g)$ então $\Theta(f) = \Theta(g)$ ). Tome a média geométrica: deixe $h = \sqrt{f \cdot g}$ (já que estamos falando de complexidade aqui, presumo que as funções sejam positivas).

Então e (se isso não for imediatamente óbvio, prove isso usando a definição de ), ou seja, . Se então , o que não é o caso, pois assumimos que . Resta provar que , e teremos . $f \in O(h)$ $h \in O(g)$ $O$ $O(f) \subseteq O(h) \subseteq O(g)$ $O(f) = O(h)$ $g = f \in O(f)$ $g \notin O(f)$ $O(h) \ne O(g)$ $O(f) \subset O(h) \subset (g)$

Se então , ou seja, existe e tal que . Então (pegue o quadrado e divida por ; novamente, assumo funções positivas), portanto , o que contraria nossa suposição inicial. A hipótese leva a uma contradição, que conclui a prova. $O(h) = O(g)$ $g \in O(h)$ $A$ $C \gt 0$ $\forall x \ge A, g(x) \le C \, h(x) = C \sqrt{f(x) g(x)}$ $g(x) \le C^2 f(x)$ $g(x)$ $g \in O(f)$ $O(h) = O(g)$

— Gilles 'SO- parar de ser mau'
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Permitir que ele fosse uma média me ocorreu também, mas estou me perguntando se há um resultado mais forte. Se f: x ↦ 0 e g: x ↦ 2x, então h seria x, mas O (h) é exatamente igual a O (g). Estou procurando um h que é mais fraco, onde O (h) contém elementos O (f) não e está faltando alguns elementos de O (g).

— begriffs

@ user3102996 Opa, sim, você está certo. O erro foi "similarmente" ... A média aritmética cresce como a função maior! A média geométrica, por outro lado, cresce "exatamente" no meio. Eu corrigi minha resposta.

— Gilles 'SO- stop be evil'

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isso parece verdadeiro para funções "bem definidas" ou possíveis "espaço / tempo construtíveis"; no entanto, sabe-se que são chamadas (por algumas) "funções patológicas" encontradas por Blum em, por exemplo, o teorema de Blums Gap, para o qual não é o caso. portanto, parece semelhante ao conceito de, por exemplo, diferenciação no cálculo, que funciona para "as funções mais bem comportadas", mas que "exceções patológicas" foram encontradas. até agora, parece não haver muito estudo sistemático / aprofundado dessas "exceções patológicas" na teoria da complexidade.

— vzn
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ps Goldreich IIRC foi oded que os chama funções de crescimento "patológicas" ... talvez alguns preferem varrê-los para debaixo do tapete = (

— vzn