Exemplos de linguagens livres de contexto com complementos não livres de contexto

Linguagens sem contexto não são fechadas sob complementação. Nas palestras, recebemos o mesmo argumento aqui na Wikipedia : Para ambos e são livres de contexto, mas sua interseção não é. Como as linguagens sem contexto são fechadas sob uniões, elas também não podem ser fechadas sob complementação.

A = {a^{n} b^{n} c^{m}; m, n \in ℕ_{0}} and B = {a^{m} b^{n} c^{n}; m, n \in ℕ_{0}},

$A = \{\mathtt a^n \mathtt b^n \mathtt c^m;~m, n ∈ ℕ_0\}\quad\text{and}\quad B = \{\mathtt a^m \mathtt b^n \mathtt c^n;~m, n ∈ ℕ_0\},$

A

$A$

B

$B$

A \cap B

$A ∩ B$

No entanto, isso mostra apenas que um dos três idiomas $A$ , $B$ e $\overline A \cup \overline B$ é um idioma sem contexto com um complemento sem contexto, mas não para qual deles é verdadeiro. Então o que é?

Além disso, existe um exemplo mínimo e elegante de uma linguagem livre de contexto com um complemento não livre de contexto, talvez sobre um alfabeto binário?

formal-languages context-free

— k.stm
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Respostas:

O idioma não é livre de contexto (como pode ser mostrado usando o lema de bombeamento; veja aqui ). Seu complemento é livre de contexto (como mostrado aqui ). Isso fornece um exemplo simples e elegante de uma linguagem livre de contexto (sobre um alfabeto binário) cujo complemento não é livre de contexto, conforme solicitado. $L_1= \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$ $L_2 = \{a,b\}^* \setminus L_1$

— DW
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O exemplo que você vê na Wikipedia: coloque , . É fácil ver que e estão livres de contexto, definindo um PDA; você pode observar que são linguagens determinísticas livres de contexto, que é uma classe fechada sob complemento. Portanto, é uma linguagem livre de contexto com um complemento sem contexto . $A=\{a^n b^n c^m\}$ $B=\{a^m b^n c^n\}$ $\overline{A}$ $\overline{B}$ $\overline{A} \cup \overline{B}$ $A \cap B=\{a^n b^n c^n\}$

Na mesma linha, a linguagem não é livre de contexto, mas seu complemento é. $\{a^n b^m c^n d^m\}$

— sdcvvc
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A pergunta pede "mínimo e elegante" e esses exemplos são muito mais complexos do que o exemplo simples dado por @DW em sua resposta.

— David Richerby

@ David Richerby: na IMO, o exemplo pode ser mais elegante que ou , mas é mais complexo provar, enquanto os outros dois são mecânicos.

\bar{{w w}}

$\overline{\{ww\}}$

\bar{{a^{n} b^{n} c^{n}}}

$\overline{\{a^n b^n c^n\}}$

\bar{{a^{n} b^{n} c^{m} d^{m}}}

$\overline{\{a^n b^n c^m d^m\}}$

— sdcvvc

Você deve ter significado no seu segundo exemplo.

{a^{n} b^{m} c^{n} d^{m}}

$\{a^nb^mc^nd^m\}$

— Yuval Filmus

Sim, obrigado pela correção (vejo que cometi o mesmo erro no comentário, tarde demais para editar agora).

— Sdcvvc