Se um ponto é um vértice do casco convexo

O exercício é

Dado um conjunto de pontos e um ponto . Decidir em de tempo, se é um vértice do polígono convexo formado a partir de pontos de . $S$ $p$ $O(n)$ $p$ $S$

O problema é que estou um pouco confuso com a complexidade do tempo $O(n)$ . A solução mais ingênua seria construir polígono convexo em $O(n\log n)$ e testar se $p$ é um dos vértices.

algorithms computational-geometry

— com
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Respostas:

Dica: o ponto é um vértice do salão convexo se houver duas meias linhas dele, de modo que todos os pontos caiam dentro do ângulo criado por eles. $p$

Aqui está uma idéia para um algoritmo baseado nesta dica:

Projete um algoritmo com duas variáveis e (pontos de entrada). O algoritmo examinará cada um dos pontos de entrada e atualizará e para que todos os pontos verificados até agora caiam dentro da cunha . $q$ $r$ $q$ $r$ $\angle qpr$

— Kaveh
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@ Jeff, há algum erro na minha ideia? Você pode vê-lo se passar o mouse sobre a parte abaixo do segundo parágrafo.

— Kaveh

Eu descobri. (Eu tinha uma solução diferente em mente.)

— Jeffe

@JeffE, eu deveria ter escrito um no lugar do o , vai corrigi-lo em um segundo. :)

— Kaveh

@ Jeff, estou curioso, qual foi a sua ideia?

— com

O problema é encontrar uma linha que atravessa $p$ e tem todos os outros pontos em $S$ de um lado. Este é um problema bidimensional de programação linear, para que possa ser resolvido em $O(n)$ tempo usando algoritmos geométricos de livros didáticos . Mas deixe-me descrever uma solução independente.

Para simplificar a notação, traduza todos os pontos para que $p$ é a origem $(0,0)$ , e deixar $Q = S\setminus\{p\}$ . Então queremos determinar se existe um número real $m$ de modo que (1) $y < mx$ para todos $(x,y)\in Q$ ou (2) $y > mx$ para todos $(x,y)\in Q$ . No primeiro caso, $p$ é um vértice do casco superior de $S$ ; no segundo caso, $p$ é um vértice do casco inferior de $S$ . Vou descrever um algoritmo para o primeiro caso; o outro caso é simétrico.

Se algum ponto $Q$ encontra-se diretamente acima $p$ (ou seja, se algum ponto $Q$ tem coordenadas $(0,y)$ para alguns $y>0$ ), então $p$ não pode ficar no casco superior. É fácil verificar esta condição em $O(n)$ Tempo.

Portanto, não assuma pontos $Q$ deite-se diretamente acima $p$ . o $y$ -axis splits $Q$ em dois subconjuntos $L$ (esquerda) e $R$ (direita). Pontos em $L$ tem negativo $x$ -coordenadas e aponta $R$ tem positivo $x$ -coordenadas. (Pontos diretamente abaixo $p$ não importa; apenas ignore-os.)

m_{L} = min_{(x, y) \in L} \frac{y}{x}, M_{R} = max_{(x, y) \in R} \frac{y}{x}, and m = \frac{m_{L} + M_{R}}{2} .

$m_L = \min_{(x,y)\in L} \frac{y}{x}, \quad M_R = \max_{(x,y)\in R} \frac{y}{x}, \quad \text{and} \quad m = \frac{m_L + M_R}{2}.$ Agora, existem três casos a serem considerados:

E se $m_L < M_R$ , então todos os pontos $Q$ está estritamente abaixo da linha $y = mx$ , tão $p$ é um vértice do casco superior.
E se $m_L = M_R$ , então a linha $y=mx$ passa por um ponto em $L$ e um ponto em $R$ e nenhum ponto $Q$ está estritamente acima dessa linha. assim $p$ fica em uma borda do casco superior, mas não é um vértice.
E se $m_L > M_R$ , pelo menos um ponto em $L$ e pelo menos um ponto $R$ estão estritamente acima da linha $y=mx$ . assim $p$ encontra-se estritamente abaixo do casco superior.

É fácil calcular $m_L$ e $M_R$ no $O(n)$ Tempo. Na verdade, não precisamos calcular $m$ .

— JeffE
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