Teorema mestre não aplicável?

Dada a seguinte equação recursiva

T (n) = 2 T (\frac{n}{2}) + n \log n

$T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right)+n\log n$ queremos aplicar o teorema do mestre e observe que

n^{\log_{2} (2)} = n .

$n^{\log_2(2)} = n.$

Agora, verificamos os dois primeiros casos para , ou seja, se $\varepsilon > 0$

$n\log n \in O(n^{1-\varepsilon})$ ou
$n\log n \in \Theta(n)$ .

Os dois casos não estão satisfeitos. Então, temos que verificar o terceiro caso, ou seja, se

$n\log n \in \Omega(n^{1+\varepsilon})$ .

Eu acho que a terceira condição também não está satisfeita. Mas por que? E qual seria uma boa explicação para o motivo de o teorema do mestre não poder ser aplicado neste caso?

— Joachim
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Veja o caso 2 do formulário genérico no wiki .

O caso três não está satisfeito porque não é para qualquer . Use a regra de l'Hôpital no limite

\log n

$\log n$

Ω (n^{ϵ})

$\Omega(n^\epsilon)$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

\frac{\log n}{n^{ϵ}}

$\frac{\log n}{n^{\epsilon}}$

— sdcvvc

Depois de mostrar que nenhum dos casos se aplica, isso prova que você não pode aplicar o teorema mestre conforme indicado.

— Raphael

Quem precisa do teorema mestre? Use árvores de recursão.

— Jeffe

Pergunta semelhante sobre math.SE .

— Raphael

Os três casos do Teorema Mestre a que você se refere são provados na Introdução aos Algoritmos por Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest e Clifford Stein (2ª Edição, 2001).

Observa-se corretamente que a recorrência em questão se enquadra entre o caso 2 e o caso 3. Ou seja, $f(n) = n \log n$ cresce mais rápido que mas mais lento que para qualquer . $n$ $n^{1+\varepsilon}$ $\varepsilon > 0$

No entanto, o teorema pode ser generalizado para cobrir essa recorrência. Considerar

Caso 2A: Considere para alguns . $f(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^k n)$ $k\geq 0$

Este caso se reduz ao caso 2 quando . É intuitivamente claro que ao longo de cada ramificação da árvore de recorrência, é adicionado vezes. Um esboço de uma prova mais formal pode ser encontrado abaixo. O resultado final é que $k = 0$ $f(x)$ $\Theta (\log_b n)$

T (n) = Θ (n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n)

$T(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^{k+1} n)$

Na introdução aos algoritmos, essa declaração é deixada como um exercício.

Aplicando esta afirmação à recorrência em questão, finalmente obtemos

T (n) = Θ (n \cdot \log^{2} n) .

$T(n) = \Theta(n \cdot \log^2 n).$

Mais detalhes sobre o Teorema Mestre podem ser encontrados na excelente página da Wikipedia (imho) .

Como @sdcvvc aponta nos comentários para provar que o Caso 3 não se aplica aqui, pode-se invocar a regra de L'Hospital que diz que para quaisquer funções deediferenciável nas imediações do. Aplicando este paraepode-se mostrar que

lim_{x \to c} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to c} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

$\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$

f (x)

$f(x)$

g (x)

$g(x)$

c

$c$

f (n) = n \log n

$f(n) = n \log n$

g (n) = n^{1 + ε}

$g(n) = n^{1+\varepsilon}$

\log n \notin Θ (n^{1 + ε}) .

$\log n \not\in \Theta (n^{1+\varepsilon}).$

Esboço da Prova do Teorema Mestre para o Caso 2A.

Esta é uma reprodução de partes da prova da Introdução aos algoritmos com as modificações necessárias .

Primeiro, provamos o seguinte lema.

Lema A:

Considere uma função onde Então

g (n) = \sum_{j = 0}^{\log_{b} n - 1} a^{j} h (n / b^{j})

$g(n) = \displaystyle \sum_{j=0}^{\log_b {n-1}} a^j h(n/b^j)$

h (n) = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k} n .

$h(n) = n^{\log_b a} \log_b^k n.$

g (n) = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n .

$g(n) = n^{\log_b a} \log_b^{k +1} n.$

Prova: Substituindo na expressão por pode-se obter $h(n)$ $g(n)$

g (n) = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k} n \sum_{j = 0}^{\log_{b} n - 1} {(\frac{a}{b^{\log_{b} a}})}^{j} = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n .

$g(n) = \displaystyle n^{\log_b a} \log_b^k n \; \sum_{j=0}^{\log_b{n-1}} \left(\frac{a}{b^{\log_b a}}\right)^j = n^{\log_b a} \log_b^{k +1} n.$

QED

$n$ $b$

T (n) = a T (n / b) + f (n), T (1) = Θ (1)

$T(n) = a T(n/b) + f(n),\quad T(1) = \Theta(1)$

T (n) = Θ (n^{\log_{b} a}) + \sum_{j = 0}^{\log_{b} n - 1} a^{j} T (n / b^{j}) .

$T(n) = \Theta(n^{\log_b a}) + \displaystyle \sum_{j=0}^{\log_b n - 1} a^j T(n/b^j).$

f (n)

$f(n)$

Θ (n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k} n)

$\Theta(n^{\log_b a} \log_b^k n)$

Θ

$\Theta$

T (n) = Θ (n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n) .

$T(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^{k+1} n).$

$n$ $b$

— Dmitri Chubarov
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O teorema de Akra-Bazzi é uma generalização estrita do teorema do mestre. Como bônus, sua prova é uma nevasca de integrais que farão sua cabeça girar ;-)

$T(n) \sim g(n)$

— vonbrand
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