O que é uma estimativa da complexidade de Kolmogorov para os primeiros N números inteiros?


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Estou ciente de que alguns ints têm maior ou menor complexidade de Kolmogorov. Por exemplo, o número 5.41126806512tem uma complexidade muito baixa, como pode ser expresso por 17/pi. Também estou ciente de que, embora o KC varie dependendo da linguagem da expressão, é sempre o mesmo até uma determinada constante. Então, pergunto: existe uma maneira de calcular uma aproximação do KC para os primeiros N ints?


algoritmos de compressão são tomados como aproximações aproximadas da complexidade de Kolmogorov. O KC, conforme estritamente definido, usa TMs e outros idiomas, está dentro de um fator constante de uma TM. as primeiras N ints podem ser enumeradas por uma TM de tamanho constante.
vzn

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Você está procurando a complexidade Kolmogorov da sequência ou a sequência das complexidades Kolmogorov ? 1,,NK(1),,K(N)
precisa saber é o seguinte

Respostas:


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Não, não existe um algoritmo geral para calcular uma aproximação aproximada da complexidade de Kolmogorov da sequência . Qualquer algoritmo candidato que você criar terá algumas entradas nas quais ele fornecerá uma resposta ruim (uma fraca aproximação à resposta correta).1,2,,n

Denote por a codificação binária do número natural e deixe denotar uma codificação separada por vírgula da sequência . Não é difícil verificar se . Como computar é indecidível, segue-se que calcular uma boa aproximação a também é indecidível.[n]n[[n]]=[1],[2],,[n]1,,n|K([n])K([[n]])|=O(1)K([n])K([[n]])

Além disso, sabe-se que para "a maioria" de números inteiros , . Portanto, para "a maioria" de números inteiros , . nK([n])=Θ(logn)nK([[n]])=Θ(logn)


Isso pressupõe que a pergunta esteja procurando por , mas acho que a leitura interessante da pergunta - como mencionada no comentário de David - é pedir estimativas assintóticas de . em função de . K([[n]])i=1nK(i)n
Steven Stadnicki

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Uma maneira de expressar a afirmação 'quase todos os números são maximamente aleatórios' é como a afirmação de que . Por conveniência, defina e considere apenas a parte da soma de a ; então, para cada , temos que o número de números desse tamanho com complexidade é (consulte http://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov_complexity para alguns detalhes disso), para que possamos dividir a soma pela soma dos números ' incompressible' e dos números compressíveis, com o primeiro contribuindo pelo menosi=1NK(i)Θ(NlgN)N=2k2k12kckc2k12kcc(121c)2k1(kc)para a soma. Um pouco mais de massagem deve ser suficiente para obter uma constante da forma na frente (ou seja, uma soma de ).1o(1)NlgNo(NlgN)

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