O regex golf NP-Complete?

Como visto nesta faixa recente do XKCD e nesta postagem recente no blogde Peter Norvig (e uma história do Slashdot com o último), "regex golf" (que pode ser chamado de problema de separação de expressões regulares) é o quebra-cabeça de definir a expressão regular mais curta possível que aceita todas as palavras do conjunto A e nenhuma palavra no conjunto. o post do conjunto B. Norvig inclui um algoritmo para gerar um candidato razoavelmente curto, e ele observa que sua abordagem envolve a solução de um problema NP-Set Set Cover, mas também é cuidadoso em ressaltar que sua abordagem não considera todas as expressões regulares possíveis, e, é claro, ele não é necessariamente o único algoritmo; portanto, não é garantido que suas soluções sejam ótimas, e também é possível que algum outro algoritmo de tempo polinomial com certeza possa encontrar soluções equivalentes ou melhores.

Por uma questão de concretude e para evitar ter que resolver a questão da otimização, acho que a formulação mais natural da Separação por Expressão Regular seria:

Dado dois conjuntos (finitos) e B de strings sobre algum alfabeto Σ , existe uma expressão regular de comprimento ≤ k que aceita todas as strings de A e rejeita todas as strings de B ?$A$$B$$\Sigma$$\leq k$$A$$B$

Sabe-se alguma coisa sobre a complexidade desse problema específico de separação? (Observe que desde que eu especifiquei e B como conjuntos finitos de cadeias, a noção natural de tamanho para o problema é o comprimento total de todas as cadeias em A e B ; isso substitui qualquer contribuição de k ). Parece-me altamente provável que seja NP-completo (e, de fato, eu esperaria que a redução fosse para algum tipo de problema de cobertura), mas algumas pesquisas não revelaram nada particularmente útil.$A$$B$$A$$B$$k$

Assumindo a variante TCS do regex, o problema é realmente NP-complete.

Assumimos que nossas expressões regulares contêm

• cartas de , combinando-se,$\Sigma$
• , denotando união,$+$
• , denotando concatenação,$\cdot$
• , denotando Kleene-Star,$*$
• , correspondendo à sequência vazia$\lambda$

e nada mais. O comprimento de uma regex é definido como o número de caracteres de . Como na história em quadrinhos, consideramos um regex para corresponder a uma palavra, se corresponder a uma substring da palavra. (Alterar qualquer uma dessas suposições deve influenciar apenas a complexidade da construção abaixo, mas não o resultado geral.)$\Sigma$

$A$$B$

Para mostrar a dureza NP, reduzimos a tampa do conjunto:

$U$$C$$U$$C' \subseteq C$$\leq k$$\bigcup_{S \in C'} S = U$

Traduzimos uma entrada para Set cover em uma para regex golf da seguinte maneira:

• $\Sigma$$C$$x$
• $A$$e$$U$$C$$e$
• $B$$x$
• $k$

Essa redução está obviamente em P e a equivalência também é bastante simples de ver:

• $c_1, \ldots, c_k$$c_1 + \cdots + c_k$
• $x$$A$$k$$\Sigma$$A$$C$