Estrutura de dados com pesquisa, inserção e exclusão no tempo amortizado

Existe uma estrutura de dados para manter uma lista ordenada que suporta as seguintes operações em tempo amortizado? $O(1)$

GetElement (k) : retorna o ésimo elemento da lista. $k$
InsertAfter (x, y) : insira o novo elemento y na lista imediatamente após x.
Excluir (x) : remova x da lista.

Nas duas últimas operações, você pode assumir que x é fornecido como um ponteiro diretamente na estrutura de dados; InsertElement retorna o ponteiro correspondente para y. InsertAfter (NULL, y) insere y no início da lista.

Por exemplo, começando com uma estrutura de dados vazia, as seguintes operações atualizam a lista ordenada, como mostrado abaixo:

InsertAfter (NULL, a) [a] $\implies$
InsertAfter (NULL, b) [b, a] $\implies$
InsertAfter (b, c) [b, c, a] $\implies$
InsertAfter (a, d) [b, c, a, d] $\implies$
Excluir (c) [b, a, d] $\implies$

Após essas cinco atualizações, GetElement (2) deve retornar d, e GetElement (3) deve retornar um erro.

— AT
fonte

Em Algoritmos ótimos para indexação de listas e classificação de subconjuntos (1989), encontrei

solução para este problema.

Ω (\frac{l o g n}{l o g l o g n})

$\Omega{(\frac{log\ n}{log\ log\ n})}$

— AT

@ Rafael: Eu acho que ele quer dizer o elemento que seria chamado

se a estrutura de dados fosse uma matriz. Matrizes suportam a primeira operação em

A [k]

$A[k]$

mas não na segunda; as listas vinculadas suportam a segunda operação em

mas não a primeira.

O (1)

$O(1)$

O (1)

$O(1)$

— JeffE 21/12/12

Além disso, árvores binárias balanceadas suportam ambas as operações em

O (\log n)

$O(\log n)$

— JeffE

@ Rafael: Editado para esclarecer.

— JeffE

@JeffE, o array dinâmico suporta os dois primeiros em

amortizado tempo (cs.uwaterloo.ca/research/tr/1999/09/CS-99-09.pdf)

O (1)

$O(1)$

— Diego

Respostas:

NÃO.

Fredman e Saks provaram que qualquer estrutura de dados que suporta essas operações requer pelo menos tempo amortizado por operação $\Omega(\log n/\log\log n)$ . (Esta é a referência [1] no artigo de Dietz que você mencionou em seu primeiro comentário.) O limite inferior é válido nomodelo de computação de sonda de célulamuitopoderoso, que considera apenas o número de endereços de memória distintos acessados pela atualização e consulta algoritmos.

Sem algumas suposições adicionais sobre as operações de atualização e consulta, a estrutura de dados de Dietz é a melhor possível (pelo menos até fatores constantes).

— JeffE
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@ AT: Esse limite nunca foi "provado errado". Há situações em que não se aplica, mas essa é uma afirmação totalmente diferente!

— Raphael

@ AT: O limite inferior de classificação foi provado em um modelo de computação muito mais fraco, ou seja, árvores de decisão binária. O limite foi "provado errado" ao desenvolver algoritmos mais rápidos que não podem ser descritos como árvores de decisão binárias. Para provar que o limite inferior de Fredman e Saks está errado, você precisará criar um algoritmo mais rápido que não acesse a memória . Boa sorte.

— 21412 JeffE

@JeffE e Raphael; revise minha outra resposta e confirme / negue meu resultado quando tiver a chance. Obrigado.

— AT

Parece que o barreira foi superada modificando a análise da técnica do cronograma. $\Omega(\dfrac{\log n}{\log\log n})$

O novo [inferior] limite foi provado para problemas semelhantes no modelo de célula-sonda [1]. Da leitura desse artigo; Entendo que esse limite também se aplica aoproblema derepresentação de lista. $\Omega(\log n)$

[1] Patrascu, Mihai e Erik D. Demaine. "Limites inferiores logarítmicos no modelo de sonda celular." SIAM J. Comput. 35, n. 4 (abril de 2006): 932–963. doi: 10.1137 / S0097539705447256.

— AT
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Este limite inferior tem para palavras de tamanho constantes-, enquanto que o anterior

um limite inferior é de palavras logaritmicamente porte.

Ω (\log n / \log \log n)

$\Omega(\log n/\log\log n)$

— Yuval Filmus

De fato. Além disso, você pode confirmar que esse limite se aplica ao problema de representação de lista com palavras de tamanho constante?

— AT

Θ (\log n / \log \log n)

$\Theta(\log n/\log \log n)$

Ω (\log n)

$\Omega(\log n)$