Decida se uma linguagem livre de contexto pode ser aceita por um autômato de pushdown determinístico

Dada uma gramática livre de contexto G, existe um autômato de empilhamento não determinístico N que aceita exatamente o idioma que G aceita. (e vice-versa)

Também pode existir um autômato de empilhamento determinístico D que aceite exatamente o idioma que G também aceita. Depende da gramática.

Por qual algoritmo nas produções de G podemos determinar se D existe?

Não há algoritmo que, dada uma gramática livre de contexto, decida se um DPDA reconhece o mesmo idioma e o calcula, se existir.

Porque, se esse algoritmo existisse, poderíamos decidir o problema indecidível da universalidade de uma gramática livre de contexto, isto é, se uma determinada gramática livre de contexto on reconhece toda a linguagem .$G$$Σ$$Σ^*$

Suponha que exista esse algoritmo . Seja uma gramática livre de contexto. Deixe ser . Em seguida, o algoritmo vai decidir se há um DPDA reconhecendo .$A_{DPDA}$$G$$L$$\mathcal L(G)$$A_{DPDA}$$A$$L$

• Se não houver esse DPDA, não é reconhecível por um DPDA, em particular não é regular, portanto não pode ser .$L$$Σ^*$

• Se existe um DPDA , podemos decidir se é igual a because porque a universalidade é decidível para DPDAs. Por quê? Porque:$A$$L$$Σ^*$

  • Os idiomas do DPDA são fechados sob complementação (porque os DPDAs são determinísticos)
  • o vazio é decidível para DPDAs (porque é para PDAs )

Usando , construímos um algoritmo que decide se para qualquer gramática sem contexto , que se provou impossível. Portanto, não existe.$A_{DPDA}$$L(G)=Σ^*$$G$$A_{DPDA}$