Nós de baixo grau em gráficos esparsos

Deixei $G = (V,E)$ ser um gráfico tendo $n$ vértices, nenhum dos quais está isolado, e $n−1$ bordas, onde $n \geq 2$ . Mostre que $G$ contém pelo menos dois vértices de grau um.

Eu tentei resolver esse problema usando a propriedade $\sum_{v \in V} \operatorname{deg}(v) = 2|E|$ . Esse problema pode ser resolvido usando o princípio do buraco de pombo ?

graph-theory proof-techniques

— Saurabh
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Tente provar o resultado mais forte em que o número de arestas é um pouco menor que

n

$n$ (não necessariamente

n - 1

$n-1$ ) Use indução em

n

$n$ . Você pode assumir que o gráfico está conectado sem perda de generalidade (por quê?). Quando você descobrir a prova, publique-a como resposta abaixo.

— Kaveh

Não vejo como o princípio inteiro do pombo difere do uso dessa identidade.

— Raphael

um gráfico tão esparso deve ser uma árvore, certo?

— Strin

Sim, é uma árvore

— Saurabh

@SaurabhHota: Esse insight também pode ser usado para uma prova.

— Raphael

Respostas:

Sim pode.

Você tem $n-1$ bordas, o que significa $2n-2$ orifícios para pombos-nó. Se todo nó deve ter grau dois (ou mais), temos que colocar (pelo menos) dois pombos para cada nó, o que perfaz um total de $2n$ pombos.

Pelo referido princípio, (pelo menos) dois pombos não encontram um buraco solitário, o que significa que (pelo menos) um nó está isolado ou (pelo menos) dois nós têm apenas uma borda. Como nenhum nó é isolado por suposição, você tem (pelo menos) dois nós com grau um.

— Rafael
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Como o número de arestas é $n-1$ , o gráfico é uma árvore. Pegue um vértice inicial $v$ no $V(G)$ . Agora comece a andar em qualquer direção e continue andando, sem repetir um vértice. Desde a $G$ é finito e não contém um ciclo, esse processo acabará parando em um vértice $u$ do grau 1. Se $v$ também teve o grau 1, terminamos. Caso contrário, inicie uma nova caminhada em outra direção $v$ . Essa caminhada também termina em um vértice de grau 1.

— utdiscant
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