Na álgebra relacional, primeiro forneceremos uma definição informal de junção esquerda (externa) e continuaremos a provar que renomear, seleção, junção e projeção podem criar diferença, assim como essa diferença, seleção e união podem ser usadas para construir junção esquerda (externa). Na verdade, acabaremos fazendo isso na ordem inversa: mostraremos como construir junções esquerdas usando diferenças e, em seguida, mostraremos como construir diferenças usando junções esquerdas.
Seja e S os esquemas ( R ' , T ) e ( T , S ' ) , respectivamente, onde R ' e S ' são os conjuntos de atributos de um esquema, mas não o outro, e T é o conjunto de atributos comuns.RS( R′, T)( T, S′)R′S′T
Deixe ser o tuplo nula para o esquema S ' . Ou seja, é a tupla que consiste em todos os valores nulos para cada atributo de S ' . Então, definimos a junção externa esquerda da seguinte forma: é o conjunto de todas as tuplas ( r , t , s ) pertencentes ao esquema ( R ′ , T , S ′ ) onde ...w = ( ε , ε , . . . , ε )S′S′R LEFT JOIN S( r , t , s )( R′, T, S′)
- é uma tupla em R ;( r , t )R
- (a) é uma tupla de S ou (b) s = w ;( t , s )Ss = w
- Se estiver no conjunto para s ≠ w , ( r , t , w ) não estará no conjunto.(r,t,s)s≠w(r,t,w)
Exemplo: 's esquema é ( A 1 , A 2 , A 3 ) , S ' esquema s é ( A 2 , A 3 , A 4 ) , e que têm que R = { ( 1 , 2 , 3 ) , ( 4 , 5 , 6 ) } e S = { ( 2 , 3 , 4 )R(A1,A2,A3)S(A2,A3,A4)R={(1,2,3),(4,5,6)} . Por (1) e (2) obtemos o resultado intermediário { ( 1 , 2 , 3 , 4 ) , ( 1 , 2 , 3 , 6 ) , ( 1 , 2 , 3 , ϵ ) , ( 4 , 5 , 6 , ϵ ) } . Por (3) devemos remover ( 1 , 2S={(2,3,4),(2,3,6)}{(1,2,3,4),(1,2,3,6),(1,2,3,ϵ),(4,5,6,ϵ)} , uma vez que temos (por exemplo) ( 1 , 2 , 3 , 4 ) e s = 4 ≠ ε = w . Ficamos assim com { ( 1 , 2 , 3 , 4 ) , ( 1 , 2 , 3 , 6 ) , ( 4 , 5 , 6 , ϵ ) }(1,2,3,ϵ)(1,2,3,4)s=4≠ϵ=w{(1,2,3,4),(1,2,3,6),(4,5,6,ϵ)}, o resultado esperado para uma junção esquerda.
Teorema: R LEFT JOIN Sé equivalente a (R EQUIJOIN S) UNION ((((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) JOIN w).
Prova: (R EQUIJOIN S)fornece tudo o que é exigido por (1) e (2a). Afirmamos que isso ((((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) JOIN w)nos dá tudo da forma (r, t, w)exigida por (2b) e (3).
Para ver isso, primeiro aviso de que (((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R)é o conjunto de todas as tuplas em para o qual não há nenhuma tupla correspondente S . Para ver isso, basta observar que, projetando os atributos comuns de R e S (o conjunto de atributos T ) e considerando a diferença, resta apenas todas e apenas as tuplas (com o esquema T ) representadas em R, mas não S . Pelo com R , recuperamos todas e apenas as tuplas em R que têm valores para atributos em T que estão presentes em R, mas não em SRSRSTTRSEQUIJOINRRTRS; ou seja, precisamente o conjunto de tuplas que reivindicamos até agora.
Em seguida, observe que o esquema de (((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S))é o mesmo que (ou seja, ( R ′ , T ) ), enquanto o esquema de w é S ′ . A operação é, por conseguinte, um produto cartesiano, nós obtemos todos os tuplos de forma a ( r , t , w ) , onde não há ( t , s ) em S que corresponde a ( R , t ) em R .R(R′,T)wS′JOIN(r,t,w)(t,s)S(r,t)R
Para ver que esse é precisamente o conjunto de tuplas que precisamos adicionar para R EQUIJOIN Sconstruir R LEFT JOIN S, considere o seguinte: por construção, (3) é satisfeito, pois R EQUIJOIN Snão pode conter se contiver ( r , t , w ) (caso contrário, a segunda parte que contém ( r , t , w ) seria uma contradição); se adicionássemos outro ( r , t , w ) não em , haveria um ((r,t,s)((((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) JOIN w)(r,t,w)(r,t,w)(r,t,w)((((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) JOIN w) em S que corresponde a ( R , t ) em R , e pela definição de, ( r , t , s ) seria também, uma contradição de (3). Isso completa a prova.(t,s)S(r,t)REQUIJOIN(r,t,s)R LEFT JOIN S
Agora mostramos que a junção esquerda pode ser usada para construir a diferença:
Teorema: R DIFFERENCE Sé equivalente aPROJECT_T(SELECT_{t'=w}(R LEFT JOIN (SELECT_{s=s'}(((S JOIN RENAME_{T->T'}(S)))))))
Prova: Note que aqui, e S ' estão vazios, uma vez que todos os atributos são compartilhados para fazer sentido. Primeiro, criamos uma nova relação a partir de S duplicando o atributo definido em S (manipulado por e ) para que ele consista em tuplas ( t , t ′ ) no conjunto de atributos ( T , T ′ ) onde t = t ' (manipulado por o ). A junção esquerda nos deixa com tuplas da forma ( t , t ′ )R′S′DIFFERENCESSRENAMEJOIN(t,t′)(T,T′)t=t′SELECT(t,t′)onde ou t ' = w . Agora, para se livrar das entradas que também aparecem em S , devemos manter apenas as tuplas do formulário ( t , w ) , que é tratado pela parte externa . O último se livra do conjunto de atributos temporários T ′ e nos deixa com a diferença em termos do esquema original.t=t′t′=wS(t,w)SELECTPROJECTT′
Exemplo: Seja e S = { ( 3 , 4 ) , ( 5 , 6 ) , ( 7 , 8 ) } . Primeiro obtemos S com o conjunto de atributos d T ′ : { ( 3 , 4 )R={(1,2),(3,4),(5,6)}S={(3,4),(5,6),(7,8)}SRENAMET′ . Aoperação nos fornece o produto cartesiano com todos os nove pares possíveis; este conjunto não está escrito aqui por razões de formatação. Oentão compara isso com { ( 3 , 4 , 3 , 4 ) , ( 5 , 6 , 5 , 6 ) , ( 7 , 8 , 7 , 8 ) } . Ocom{(3,4),(5,6),(7,8)}JOINSELECT{(3,4,3,4),(5,6,5,6),(7,8,7,8)}LEFT JOIN fornece { ( 1 , 2 , ϵ , ϵ ) , ( 3 , 4 , 3 , 4 ) , ( 5 , 6 , 5 , 6 ) } . O resultadoé { ( 1 , 2 , ϵ , ϵ ) } . Odá { ( 1 , 2 ) } , a resposta desejada.R{(1,2,ϵ,ϵ),(3,4,3,4),(5,6,5,6)}SELECT{(1,2,ϵ,ϵ)}PROJECT{(1,2)}