Podemos construir uma redução de Karp a partir de uma redução de Cook entre problemas de NP?

Tivemos várias perguntas sobre a relação das reduções de Cook e Karp . É claro que as reduções de Cook (reduções de Turing no tempo polinomial) não definem a mesma noção de completude de NP que as reduções de Karp (reduções de muitos-um no tempo polinomial), que geralmente são usadas. Em particular, as reduções de Cook não podem separar NP de co-NP, mesmo que P NP. Portanto, não devemos usar as reduções do Cook em provas típicas de redução.$\neq$

Agora, os alunos encontraram um trabalho revisado por pares [1] que usa uma redução de Cook para mostrar que um problema é difícil para o NP. Não dei a eles a pontuação total pela redução que eles fizeram a partir daí, mas me pergunto.

Desde reduções Cozinhe fazer definir uma noção semelhante de dureza como reduções Karp, eu sinto que eles devem ser capazes de separar P de NPC resp. co-NPC, assumindo P NP. Em particular, (algo como) o seguinte deve ser verdadeiro:$\neq$

$\qquad\displaystyle L_1 \in \mathrm{NP}, L_2 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}}, L_2 \leq_{\mathrm{Cook}} L_1 \implies L_1 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}}$ .

A pepita importante é que , a insensibilidade observada acima, seja contornada. Agora "sabemos" - por definição de NPC - que .L 2 ≤ K a r p L $L_1 \in \mathrm{NP}$$L_2 \leq_{\mathrm{Karp}} L_1$

Como foi observado por Vor , não é tão fácil (notação adaptada):

Suponha que , por definição, para todos os idiomas , tenha ; e se a implicação acima for verdadeira, e, portanto, que ainda é uma pergunta em aberto. G 2 ∈ N P C K um r p ⊆ N P G 2 ≤ C o o k G 1 L 1 ∈ N P C K um r p N P C $L_1 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Cook}}$$L_2 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}} \subseteq \mathrm{NP}$$L_2 \leq_{\mathrm{Cook}} L_1$$L_1 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}}$$\mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}} = \mathrm{NPC}_{\mathrm{Cook}}$

Pode haver outras diferenças entre os dois NPCs, mas co-NP.

Caso isso não ocorra, existem critérios conhecidos (não triviais) para quando ter uma redução de Cook implica dureza Karp-NP, ou seja, conhecemos os predicados com$P$

$\qquad\displaystyle L_2 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}}, L_2 \leq_{\mathrm{Cook}} L_1, P(L_1,L_2) \implies L_1 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}}$ ?

1. Sobre a complexidade do alinhamento de múltiplas seqüências de L. Wang e T. Jiang (1994)

é um problema geralmente aberto do TCS, sujeito a pesquisas em andamento, se as condições exatas das reduções de Cook & Karp são equivalentes e, aparentemente, estão intimamente relacionadas à pergunta aberta NP =? coNP e outras separações de classes de complexidade, por exemplo, E =? NE (línguas esparsas erradas).

Aqui estão dois trabalhos de pesquisa sobre o assunto e mais informações sobre tcs.se por meio de uma pergunta semelhante:

• Cook e Karp são sempre os mesmos? Beigel, Fortnow

• Cook vs. Karp-Levin: Separando Noções de Completude Se NP Não é Pequeno (1995) Lutz, Mayordomo

• muitas reduções de um vs reduções de Turing para definir NPC , tcs.se

Em geral, para transformar mecanicamente um problema completo de Cook em um problema completo de Karp, deve haver algo especial no próprio idioma.

Por exemplo, mesmo uma versão muito restrita da redução de Cook, ou seja, redução negativa (reduza para uma instância como Karp, solicite resposta e depois negue), exigiria que algo especial no idioma $L$ fosse facilmente transformado em uma redução padrão de Karp.

$L$

$x$$x'=f(x)$$L(x)\neq L(x')$

$g(x)$$f(g(x))$

Como você pode ver, essas propriedades normalmente não são vistas na teoria da complexidade, na teoria da computabilidade. Em conclusão, é extremamente improvável que seja possível transformar Cook em Karp.