Uma união infinita de linguagens livres de contexto é sempre livre de contexto?

Sejam $L_1$ , $L_2$ , $L_3$ , $\dots$ uma sequência infinita de linguagens livres de contexto, cada uma das quais é definida sobre um alfabeto comum . Seja a união infinita de , , , ; ou seja, . $Σ$ $L$ $L_1$ $L_2$ $L_3$ $\dots$ $L = L_1 \cup L_2 \cup L_3 \cup \dots$

É sempre o caso de $L$ ser uma linguagem livre de contexto?

formal-languages context-free closure-properties

— Gigili
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Há duas perguntas principalmente independentes aqui. O primeiro é muito elementar, mas o segundo é facilmente respondido com a Wikipedia. Sugiro que você edite para se concentrar na primeira pergunta.

— Raphael

@ Rafael: Eu fiz isso antes de sua sugestão, mas depois pensei que poderia tornar algumas partes das respostas inúteis.

— Gigili 10/03/12

@ Rafael: Essa edição anula a maior parte do que eu escrevi! Não acho que seja uma boa ideia fazer perguntas assim, quando já houver respostas.

— Aryabhata

@Aryabhata: É possível editar sua resposta, por favor? Editei para impedir que a pergunta fosse fácil, como ele disse! Vou postar uma meta pergunta sobre isso.

— Gigili 10/03/12

@ Gregili: Eu posso, mas eu estava falando em termos gerais. Imagine o caso em que alguém faz alguma pesquisa e se esforça para escrever uma resposta detalhada. Agora você muda a pergunta que invalida a maior parte dessa resposta. Para essa pergunta, talvez não importe, na verdade, provavelmente posso excluir minha resposta, pois teremos duas respostas dizendo a mesma coisa e uma delas seria apenas ruído.

— Aryabhata

A união de infinitas linguagens livres de contexto pode não ser livre de contexto. Na verdade, a união de um número infinito de línguas pode ser qualquer coisa: vamos ser uma linguagem, e definir para cada do (finito) linguagem . A união sobre todas as línguas é . Linguagens finitas são regulares, mas pode até não ser decidível (e, portanto, definitivamente não é livre de contexto). $L$ $l \in L$ $L_l = \{ l \}$ $L$ $L$

As propriedades de fechamento de idiomas sem contexto podem ser encontradas na Wikipedia .

— Alex ten Brink
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Obrigado pela sua resposta. Então a resposta é "não"? Você poderia fornecer um contra-exemplo?

— Gigili 10/03/12

@Gigili: o idioma é o exemplo usual de uma linguagem que não é livre de contexto e, usando minha construção, a união de é exatamente essa linguagem, mas todos os são finitos e, portanto, livres de contexto.

{a^{n} b^{n} c^{n} | n \geq 1}

$\{ a^n b^n c^n | n \geq 1 \}$

L_{1} = {a b c}, L_{2} = {a a b b c c}, L_{3} = {a a a b b b c c c}, \dots

$L_1 = \{ a b c \}, L_2 = \{ aa bb cc \}, L_3 = \{ aaa bbb ccc \}, \dots$

L_{i}

$L_i$

— Alex-Brink

@IGigili Você deve poder usar qualquer linguagem que não seja livre de contexto como contra-exemplo, usando o que Alex escreveu.

— Raphael

Outra maneira de quebrar qualquer idioma é de acordo com o tamanho das palavras: . Isso mostra que mesmo uma união crescente de idiomas finitos é suficiente para descrever qualquer idioma.

L = ⋃_{n \in N} {w \in L ∣ | w | \leq n}

$L = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} \{w \in L \mid |w| \le n\}$

— Gilles 'SO- stop be evil' '

"De fato, a união de infinitas línguas pode ser praticamente qualquer coisa " (grifo nosso). Na verdade, pode ser qualquer coisa, ponto final, não "apenas". Seu exemplo mostra isso. Bem, o conjunto / idioma nulo pode ser um problema, mas uniões vazias são boas. Portanto, pode ser o conjunto mais estranho e vastamente não computável, na hierarquia que você deseja seguir. Pode ser qualquer conjunto.

— David Lewis