Problema de cobertura (transmissor e receptor)

Eu tento resolver o seguinte problema de cobertura.

Existem transmissores com área de cobertura de 1 km e receptores. Decida em que todos os receptores são cobertos por qualquer transmissor. Todos os receptores e transmissores são representados por suas coordenadas e . $n$ $n$ $O(n\log n)$ $x$ $y$

A solução mais avançada que eu posso vir usa o . Para cada receptor, classifique todos os transmissores por distância a este receptor atual e, em seguida, leve o transmissor à distância mais curta e essa distância mais curta deve estar dentro de 0,5 km. $O(n^2\log n)$

Mas a abordagem ingênua parece muito melhor na complexidade do tempo . Apenas calcule toda a distância entre todos os pares de transmissor e receptor. $O(n^2)$

Não tenho certeza se posso aplicar algoritmos de pesquisa por intervalo nesse problema. Por exemplo, o kd-trees nos permite encontrar esses intervalos, no entanto, nunca vi um exemplo, e não tenho certeza se há algum tipo de busca por círculos.

A complexidade fornecida supõe que a solução deva ser de algum modo semelhante à classificação. $O(n\log n)$

algorithms computational-geometry search-problem

— com
fonte

Se o tempo esperado

estiver bom, acho que você poderia construir uma árvore

sobre os transmissores (levando tempo

) e, em seguida, realizar uma consulta de vizinho mais próximo para cada receptor (fazendo uma média de

para cada receptor). Isso deve ser o truque, mas presumo que você precise da pior complexidade possível. Parece haver alguns truques para acelerar quando você está executando várias consultas de vizinhos mais próximos em uma árvore

O (n \log n)

$O(n \log n)$

k d

$kd$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

O (\log n)

$O(\log n)$

k d

$kd$

— utdiscant 25/05

Eu acho que um algoritmo de linha de varredura pode fazer o truque: classifique transmissores e receptores pela coordenada x e percorra a lista. O gerenciamento inteligente do conjunto de transmissores viáveis é essencial.

— Raphael

@Raphael, você pode elaborar um pouco mais, parece que vai ser muito lento no pior dos casos.

— com

Eu acho que vale a pena dar uma olhada no algoritmo da Fortune para calcular um diagrama de Voronoi no avião. Funciona em

e, dado um diagrama de Voronoi, seu problema se torna fácil.

O (n \log n)

$O(n\log n)$

— Syzygy

Você pode usar o diagrama de Voronoi, juntamente com a estrutura de dados de Kirkpatrick, para resolver esse problema.

Como Raphael e Syzygy sugeriram, você pode usar o algoritmo da Fortune (linha de varredura) para criar o diagrama de Voronoi. Pior caso: . $\mathcal{O}(n \log n)$

O diagrama Voronoi terá vários polígonos, cada um contendo um transmissor. Qualquer ponto dentro do polígono é o mais próximo desse transmissor. Portanto, se você descobrir qual polígono contém o receptor, poderá encontrar o transmissor mais próximo, descobrindo de alguma forma em que polígono ele está. Depois disso, verifique se esse transmissor está a . $1\ \text{km}$

Para determinar qual polígono de Voronoi contém o receptor, primeiro triangule cada polígono no diagrama. Agora você tem uma malha triangular. Em seguida, você usa a estrutura de dados de Kirkpatrick para localizar qualquer triângulo que contenha um determinado ponto no tempo , na pior das hipóteses. Construir a estrutura de dados de Kirkpatrick leva pior caso. Depois de conhecer o triângulo, você saberá o polígono que o contém e, portanto, o transmissor mais próximo. Fazer isso para todos os receptores será , na pior das hipóteses. $\mathcal{O}(\log n)$ $\mathcal{O}(n\log n)$ $\mathcal{O}(n\log n)$

Cada célula em um diagrama de Voronoi é um polígono convexo, possivelmente ilimitado.

...

O número de vértices [de um diagrama de Voronoi de n sites] V ≤ 2n-5

- www.cs.arizona.edu

Cada polígono em um diagrama de Voronoi é um polígono convexo. Portanto, como a triangulação de um polígono convexo leva $\Theta(v)$ $v$ $n$ $n$ $\mathcal{O}(n)$ $\mathcal{O}(n)$ $\mathcal{O}(n)$ $\mathcal{O}(n)$ $\mathcal{O}(n)$

— Realz Slaw
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