Determinar o número ausente no fluxo de dados

Recebemos um fluxo de pares diferentes de números do conjunto { 1 , … , n } .$n-1$$\left\{1,\dots,n\right\}$

Como posso determinar o número ausente com um algoritmo que lê o fluxo uma vez e usa uma memória de apenas bits?$O(\log_2 n)$

Você sabe e porqueS=n(n+1$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ pode ser codificado embitsO(log(n)),isso pode ser feito namemóriaO(logn)e em um caminho (basta encontrarS-currentSum, esse número está faltando).$S = \frac{n(n+1)}{2}$$O(\log(n))$$O(\log n)$$S - \mathrm{currentSum}$

Mas esse problema pode ser resolvido no caso geral (para a constante ): temos k números ausentes, descubra todos eles. Nesse caso, em vez de calcular apenas a soma de y i , calcule a soma da j'st de x i para todos os 1 ≤ j ≤ k (assumi que x i está faltando números e y i é um número de entrada):$k$$k$$y_i$$x_i$$1\le j \le k$$x_i$$y_i$

$\qquad \displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^k x_i &= S_1,\\ \sum_{i=1}^k x_i^2 &= S_2,\\ &\vdots \\ \sum_{i=1}^k x_i^k &= S_k \end{align}$ $\qquad (1)$

Lembre-se que você pode calcular simplesmente, porque S 1 = S - Σ y i , S 2 = Σ i 2 - Σ Y 2 i , ...$S_1,...S_k$$S_1 = S - \sum y_i$$S_2 = \sum i^2 - \sum y_i^2$

Agora, para encontrar números ausentes, você deve resolver para encontrar todos os x i .$(1)$$x_i$

Você pode calcular:

, P 2 = ∑ x i ⋅ x j , ..., P k = ∏ x i ( 2 ) .$P_1 = \sum x_i$$P_2 = \sum x_i\cdot x_j$$P_k = \prod x_i$ $(2)$

Para isso, lembre-se de que , P 2 = S 2 1 - S $P_1 = S_1$ ...$P_2 = \frac{S_1^2 - S_2}{2}$

Mas é coeficiente de P = ( x - x 1 ) ⋅ ( x - x 2 ) ⋯ ( x - x k ), mas P pode ser fatorado exclusivamente, para que você possa encontrar números ausentes.$P_i$$P=(x-x_1)\cdot (x-x_2) \cdots (x-x_k)$$P$

Estes não são meus pensamentos; leia isso .

Do comentário acima:

Antes de processamento da corrente, alocar bits, onde escrever x : = ⨁ n i = 1 b i n ( i ) ( b i n ( i ) é a representação binária de i e ⊕ é pontual exclusive- ou). Ingenuamente, isso leva tempo O ( n ) .$\lceil \log_2 n \rceil$$x:= \bigoplus_{i=1}^n \mathrm{bin}(i)$$\mathrm{bin}(i)$$i$$\oplus$$\mathcal{O}(n)$

Ao processar o fluxo, sempre que alguém ler um número , calcule x : = x ⊕ b i n ( j ) . Vamos k ser o número único de { 1 , . . . n } que não está incluído no fluxo. Depois de ler todo o fluxo, temos x = ( n ⨁ i = 1 b i n ( i ) ) ⊕ ( ⨁ i ≠ k$j$$x := x \oplus \mathrm{bin}(j)$$k$$\{ 1, ... n\}$ obtendo-se o resultado desejado.

Portanto, usamos espaço e temos um tempo de execução geral de O ( n ) .$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(n)$

value$O(\log_2 n)$

$\text{fold}$$\oplus$

$\oplus$$O(\log_2 n)$$\oplus$$x \oplus x = 0$

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>

using namespace std;

void find_missing( int const * stream, int len );

int main( int argc, char ** argv )
{
    if( argc < 2 )
    {
        cerr << "Syntax: " << argv[0] << " N" << endl;
        return 1;
    }
    int n = atoi( argv[1] );

    //construct sequence
    vector<int> seq;
    for( int i=1; i <= n; ++i )
        seq.push_back( i );

    //remove a number and remember it
    srand( unsigned(time(0)) );
    int remove = (rand() % n) + 1;
    seq.erase( seq.begin() + (remove - 1) );
    cout << "Removed: " << remove << endl;

    //give the stream a random order
    std::random_shuffle( seq.begin(), seq.end() );

    find_missing( &seq[0], int(seq.size()) );
}

//HdM's solution
void find_missing( int const * stream, int len )
{
    //create initial value of n sequence xor'ed (n == len+1)
    int value = 0;
    for( int i=0; i < (len+1); ++i )
        value = value ^ (i+1);

    //xor all items in stream
    for( int i=0; i < len; ++i, ++stream )
        value = value ^ *stream;

    //what's left is the missing number
    cout << "Found: " << value << endl;
}