Problemas completos para

Sabemos que a poliL não tem problemas completos, pois entraria em conflito com o teorema da hierarquia espacial. Mas: Existem problemas completos para cada nível dessa hierarquia?$polyL$

Para ser mais preciso: A classe tem problemas completos em reduções para cada ?$DSPACE(\log(n)^k)$$L$$k > 0$

Uma prova padrão do teorema da hierarquia espacial é baseada na simulação de espaço eficiente das máquinas de Turing. Se não me engano, esta simulação implica que, para cada função construtível em espaço f : ℕ → ℕ, o seguinte problema está no DSPACE ( f ( n )) (onde n é o comprimento da entrada):

Dada a codificação de uma máquina de Turing determinística M com uma fita de entrada somente leitura e uma fita de trabalho de leitura e gravação com um alfabeto de trabalho fixo (como {0, 1, espaço em branco}), uma string x e uma string de registro 1 ^t , decida se M pára na sequência de entrada x antes de usar mais do que f ( t ) espaço de trabalho.

Esse problema é DSPACE ( f ( n )) - difícil sob o espaço de log redutibilidade de muitos um. Aqui está uma prova no caso de f ( n ) = lg ^k n . Para cada idioma L ∈DSPACE (log ^k n ), existe uma máquina de Turing M (da forma descrita acima) que aceita L no espaço c lg ^k n para alguns c ∈ℕ. Modifique M para M 'para que, quando M rejeitar, M ' entre em um loop infinito. Em seguida, é fornecida uma sequência de entrada x, deixe t = | x | ^c , e geramos a instância ( M ′, x , 1 ^t ) do problema acima. (Eu acho que a única parte levemente não trivial é que não podemos definir t = | x |.)

Portanto, esse problema é DSPACE ( f ( n )) - completo no espaço de log redutibilidade de muitos um.

Apenas um comentário estendido.

No artigo " O Problema do Vazio para Interseções de Idiomas Regulares " é mostrado que a decisão do vazio da interseção dos idiomas reconhecidos por DFAs é completa para ; em particular, o vazio da interseção dos idiomas reconhecidos pelos está completo para o , .$g(n)$$NSPACE(g(n)\log{n})$$\log^{k-1}{n}$$NSPACE(log^{k}{n})$$k \geq 1$

Mas parece que o mesmo resultado não pode ser restrito ao DPSACE se considerarmos a interseção vazia de idiomas reconhecidos por Tally-DFAs (DFAs com apenas um símbolo no alfabeto).$g(n)$

No entanto, está completo para para cada .$\emptyset = \bigcap^k DFA_{lin}$$DSPACE(\log{n})$$k$