Árvore de Huffman e profundidade máxima

Conhecendo as frequências de cada símbolo, é possível determinar a altura máxima da árvore sem aplicar o algoritmo de Huffman? Existe uma fórmula que dê altura a essa árvore?

trees coding-theory

— user7060
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Tente brincar com alguns exemplos e veja se consegue encontrar algum critério útil. Isso é o que eu faria se eu estivesse tentando responder à sua pergunta, mas é provavelmente melhor para você fazê-lo sozinho ...

— Yuval Filmus

Sim, eu já tentei com um monte de exemplos, mas eu estou procurando uma expressão Litteral, por exemplo, uma assintótica limite, função do número de símbolos ...

— user7060

Em termos do número de símbolos, você não pode fazer nada melhor do que

n - 1

$n-1$ por um lado, e

⌈ \log_{2} n ⌉

$\lceil \log_2 n \rceil$ no outro.

— Yuval Filmus

Desculpa. Eu estava pensando sobre o número de símbolos e suas frequências. Por exemplo, talvez seja possível fornecer a profundidade máxima procurando simplesmente a menor frequência entre todos os símbolos?

n - 1

$n-1$ é um limite limitado na profundidade, estou interessado em um limite apertado.

— user7060

max - \log_{2} p_{i}

$\max -\log_2 p_i$

Respostas:

A codificação de Huffman (assintoticamente) fica dentro de um bit da entropia da sequência. Isso significa que, se você calcular a entropia das frequências de seus símbolos, estará (assintoticamente) a um bit do comprimento médio (ou seja, a altura) do seu código. Você pode usar essa média para limitar o comprimento mais longo (em média) ou usar métodos combinatórios para obter limites determinísticos.

— Ari Trachtenberg
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O caso patológico seria quando a frequência do símbolo classificado se assemelhasse à da sequência de Fibonacci. N: = número de símbolos. para N> 2, altura máxima possível: N-1. para N == 1 ou 2: 1

— Bill Liu
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Não é isso que a pergunta faz.

— Tom van der Zanden

De fato. A pergunta pede qualquer caso em que você fale sobre o pior caso.

— Raphael