NP-Completude de um problema de coloração de gráfico

Formulação Alternativa

Eu vim com uma formulação alternativa para o problema abaixo. A formulação alternativa é realmente um caso especial do problema abaixo e usa gráficos bipartidos para descrever o problema. No entanto, acredito que a formulação alternativa ainda é NP-difícil. A formulação alternativa usa um conjunto separado de nós de entrada e saída que simplifica a definição do problema.

Dado nós de saída e entrada (os nós vermelho e azul na figura, respectivamente) e um conjunto 's de tamanho de pesos de borda entre os vértices de saída e de entrada. O objetivo do problema é colorir as arestas grossas da figura para que, para cada nó recebido, uma condição seja mantida. $n$ $n$ $w_{ij}$ $n \times n$

Gráfico bipartido do problema

Dado um conjunto de vértices de saída, um conjunto $\{ O_i \; | \; i=1 \dots n \}$ de vértices de entrada, pesos entre 's e ' s para , e uma constante positiva , encontrar o número mínimo de cores para as arestas (arestas grossas na figura acima), de modo que, para todos os , $\{ I_i\; | \; i=1 \dots n \}$ $n \times n$ $w_{ij} \ge 0$ $O_i$ $I_j$ $i,j=1 \dots n$ $\beta$ $e_{ii}$ $j=1 \dots n$

$\frac{w_{j j}}{1 + \sum_{c (i) = c (j), i \neq j} w_{i j}} \geq β$ $\frac{w_{jj}}{1+\sum_{c(i)=c(j),i \neq j} w_{ij}} \ge \beta$
onde mostra a cor da aresta . $c(i)$ $e_{ii}$

Formulação antiga

O seguinte problema parece difícil para mim, mas não consegui mostrar. Qualquer prova / comentário para mostrar a dureza ou facilidade é apreciada.

Suponha é um gráfico ponderada completo dirigido com nodos e arestas. Deixe mostrar o peso da aresta e mostre a cor da aresta . Dado um subconjunto das arestas e uma constante positiva o objetivo é: encontrar o número mínimo de cores para que cada $K_n=\langle V,E \rangle$ $n$ $n(n-1)$ $w_{ij} \ge 0$ $ij$ $c(ij)$ $ij$ $T \subseteq E$ $\beta$ : $e_{ij} \in T$

e
$\frac{w_{i j}}{1 + \sum_{c (k l) = c (i j), k l \neq i j} w_{k j}} \geq β .$ $\frac{w_{ij}}{1+\sum_{c(kl)=c(ij),kl \neq ij} w_{kj}} \ge \beta.$ $c (i j) \neq c (i k) f o r j \neq k$ $c(ij) \neq c(ik) \quad for \quad j \neq k$

Observe que no problema acima, apenas as arestas em precisam ser coloridas. Esse é o problema que pode ser resolvido em . $T$ $\mathcal{O}(|T|!)$

Atualizar:

Após o comentário de Tsuyoshi Ito, atualizei o problema. O denominador é alterado de para $1+\sum_{c(kj)=c(ij),k \neq i,e_{kj} \in T} w_{kj}$ $1+\sum_{c(kl)=c(ij),kl \neq ij} w_{kj}$ . Portanto, o denominador contém os pesos exteriores bem. Foi por isso que mencionei o gráfico completo na definição. $T$

Também adicionei uma restrição adicional . Isso significa que as arestas de saída de um nó devem ter cores diferentes (mas as cores recebidas podem ser as mesmas desde que a desigualdade se mantenha). Isso coloca um intuitivo limite inferior no número de cores, que é o grau out-máxima dos nós no . $c(ij) \neq c(ik) \quad for \quad j \neq k$ $T$

$w_{ij}$ $T$ $\beta$

Atualização 2:

$e_{ij}$ $e_{ji}$

— Hélio
fonte

@ Rafael: Normalmente, um problema de coloração das bordas parece ser um bom candidato para a redução. Encontrar o problema np-hard mais simples para a redução é a parte mais difícil. O próximo passo é encontrar os pesos adequados para o mapeamento. Eu acho que, se um problema de coloração de borda for reduzido ao problema acima, os pesos devem ser iguais a 0/1 ou precisamos resolver um sistema de desigualdades para encontrar os pesos.

— Helium

Alguns comentários sobre a formulação do problema: (1) Qual é a contribuição? Eu acho que a entrada é w_ij para todas as arestas, T e β, mas, se for o caso, você não deve definir w_ij ec (ij) como se fossem dados da mesma maneira. (2) Pelo que entendi o que você escreveu, as bordas fora de T nunca são mencionadas. Portanto, é mais simples definir o gráfico direcionado que consiste nas arestas em T em vez de considerar o gráfico direcionado completo.

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto: Obrigado por seus comentários, atualizei a pergunta.

— Helium

A propósito, o problema parece bastante confuso para mim. Se você explicar como alcançou esse problema (em outras palavras, por que está interessado nesse problema), isso pode ajudar outras pessoas a entender o problema.

— Tsuyoshi Ito

T

$T$

$n$ $n$ $n$ $i$ $w_{ii}=1$ $i \neq j$ $i$ $j$ $w_{ij}=w_{ji}=1$ $w_{ij}=w_{ji}=0$ $\beta=1$

$\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$

$i$ $j$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $i$ $j$ $\frac{w_{jj}}{1+\sum_{c(i)=c(j),i \neq j} w_{ij}}$ $\frac{1}{1+X}$ $X$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ fornece uma solução com um número menor de cores.

— Hélio
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$c(ij)=c(ji)$ $T$ $0$

$G=(V,E)$ $D=(V,A)$ $\forall uv\in E$ $(u,v)$ $(v,u)$ $A$ $a \in A$ $w_{a} = 1$ $\forall xy \notin E$ $(x,y)$ $(y,x)$ $A$ $w_{xy}=w_{yx}=0$ $\beta$ $1$ $T=A$

$0$

$k$ $NP$

$NP$

— Luke Mathieson
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Como você impõe que c (ij) = c (ji)? Isso não é necessariamente verdade no problema em questão, se eu entendi corretamente.

— Tsuyoshi Ito

Bom ponto. Vou editar a postagem original para observar o problema.

— Luke Mathieson