A estrela Kleene de uma linguagem unitária infinita sempre produz uma linguagem regular

Seja , onde e para todos os . $L = \{a^n \mid n \ge 0\}$ $a^0 = \epsilon$ $a^n = a^{n-1}a$ $n \ge 1$

Assim consiste em sequências de de todos os comprimentos, incluindo uma sequência de comprimento . Deixe ser qualquer subconjunto infinito de . Preciso mostrar que sempre existe um DFA para reconhecer . $L$ $a$ $0$ $L_2$ $L$ $L_2^*$

Se é um subconjunto finito, é muito óbvio, pois seria um DFA e, portanto, pelo fechamento de Kleene, seria reconhecido por um DFA. Mas não consigo obtê-lo para um subconjunto infinito, pois pode não ser expresso como DFA quando, por exemplo, os comprimentos das strings são primos. $L_2$ $L_2$ $L_2^*$ $L_2$

formal-languages regular-languages closure-properties

— Aditya Nambiar
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Suponha que haja duas palavras no idioma cujos comprimentos sejam relativamente primos. Seja esses comprimentos e . Sabemos (veja isso ) que, adicionando esses números um ao outro repetidamente, podemos obter qualquer número maior que . Então, se e são e , podemos escrever qualquer número maior do que como uma combinação linear de e . O que isso significa para nós: consiste em alguma linguagem finita arbitrária (regular, como todas as línguas finitas), em união com a linguagem $x$ $y$ $(x - 1)(y - 1) - 1$ $x$ $y$ $13$ $7$ $72$ $7$ $13$ $L_2^*$ $\{w \in a^* \mid |a| > (x-1)(y-1)-1\}$ . Esse idioma é regular, pois é o idioma de todas as palavras com um conjunto finito de palavras removido. Como é uma união de idiomas regulares, também deve ser regular. $L_2^*$

Se todas as palavras em tiverem comprimentos que compartilhem o maior fator comum (chame esse fator comum de ), repita o argumento acima, mas em vez de usar comprimentos de string, use comprimentos de string divididos por . Nesse caso, será a concatenação de uma linguagem finita arbitrária (regular) e da linguagem , também regular (já que $ (a ^ m) ^ * é regular e estamos removendo dele muitas palavras finitas). $L_2^*$ $m$ $m$ $L_2^*$ $\{w \in (a^m)^* \mid |w| > m^2[(x/m - 1)(y/m - 1) - 1]\}$

Por exemplo, suponha que todas as palavras em tenham um GCF de 2 e o idioma contenha as palavras e . Temos , e , que são relativamente primos. Portanto, sabemos que podemos obter qualquer palavra cujo comprimento seja múltiplo de se o comprimento for maior que concatenando e . $L$ $a^4$ $a^{10}$ $m = 2$ $x/m = 4/2 = 2$ $y/m = 10/2 = 5$ $m$ $m^2[(x/m - 1)(y/m - 1) - 1] = 2^2[(2 - 1)(5 - 1) - 1] = (4)(3) = 12$ $a^4$ $a^{10}$

— Patrick87
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