Como testar se um polígono é monótono em relação a uma linha arbitrária?

Definição : Um polígono no plano é chamado monotônico em relação a uma linha reta , se todas as linhas ortogonais a cruzarem no máximo duas vezes. $P$ $L$ $L$ $P$

Dado um polígono , é possível determinar se existe alguma linha modo que o polígono seja monótono em relação a ? Se sim, como? $P$ $L$ $P$ $L$

Antes, eu fazia uma pergunta relacionada (onde perguntava como determinar se um polígono é monótono em relação a uma linha específica), mas agora estou interessado no caso em que não é fornecido ou especificado com antecedência. $L$

algorithms computational-geometry

— com
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Por que não apenas girar / mudar o sistema de coordenadas de modo que se torne o eixo e execute o algoritmo antigo novamente? O trabalho adicional deve ser gerenciado em .

L

$L$

x

$x$

O (1)

$\mathcal{O}(1)$

— HDM

@HdM: A linha L não é fornecida como parte da entrada.

— Tsuyoshi Ito

É possível.

Considere seu polígono e considere os vértices "côncavos". Eles definem exatamente quais linhas cruzarão o polígono mais de duas vezes. Na figura a seguir, marquei os intervalos (em vermelho) dos ângulos proibidos. Se você juntá-las e vir um buraco no disco vermelho, existem ângulos autorizados $δ$ (em azul). O polígono é então monótono em relação a qualquer linha de inclinação $-1/\tan δ$ (em verde).

Asteroids

Agora o algoritmo.

Seja o ésimo vértice do polígono. Primeiro calcule o ângulo absoluto da aresta e o ângulo interno do vértice . Use a função disponível em todas as boas linguagens de programação. $v_i=(x_i, y_i)$ $i$ $α_i$ $(v_iv_{i+1})$ $β_i$ $v_i$ atan2

α_{Eu} = atan2 (y_{Eu + 1} - y_{Eu}, x_{Eu + 1} - x_{Eu})

$α_i=\mbox{atan2}(y_{i+1}-y_i,x_{i+1}-x_i)$

β_{Eu} = α_{Eu + 1} - α_{Eu} + {\begin{cases} 0 0 & E se α_{Eu + 1} \geq α_{Eu} \\ 2 π & E se α_{Eu + 1} < α_{Eu} \end{cases}

$β_i = α_{i+1}-α_i+ \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{ if } α_{i+1} ≥ α_i \\ 2π & \mbox{ if } α_{i+1} < α_i \\ \end{array} \right.$

Inverta a ordem dos vértices se eles não estiverem no sentido anti-horário, ou seja, se não for negativo. ( : sentido anti-horário, : sentido horário). $s=\sum_i β_i-nπ$ $s=-2π$ $s=2π$

O seguinte é apenas para os ângulos internos maiores que ou seja, . Os vermelhos na minha foto. O objectivo é encontrar um ângulo que não é em módulo . Nomeadamente tal que para todos os tais que : $m$ $π$ $β_j>π$ $δ$ $∪_j[α_{j+1},α_j]$ $π$ $j$ $β_j>π$

(δ < α_{j + 1} \lor α_{j} < δ) E se α_{j + 1} < α_{j}

$(δ<α_{j+1} ∨ α_j<δ) \mbox{ if } α_{j+1}<α_j$

(α_{j} < δ < α_{j + 1}) E se α_{j} < α_{j + 1}

$(α_j<δ<α_{j+1}) \mbox{ if } α_j<α_{j+1}$

onde é aqui o valor normalizado de em . O segundo caso corresponde a um intervalo que vai além de (portanto, esse tempo deve estar "dentro"). $α_j$ $α_j$ $[0,π)$ $π$ $δ$

Provavelmente existe uma maneira mais rápida de fazer isso, mas uma em é classificar os valores em e testar . $O(n^2)$ $α_j\mbox{ mod }π$ $γ_1,…γ_m$ $δ∈\{\frac{γ_1}2,\frac{γ_1+γ_2}2,…,\frac{γ_{m-1}+γ_m}2,\frac{γ_m+π}2\}$

Se você encontrar algum então existe e é da inclinação . Caso contrário, não é monótono. $δ$ $L$ $-1/\tan δ$ $P$

— jmad
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Qual software você usou para fazer essa ilustração?

— jojman

@ jojman Não me lembro, mas tinha que ser o GIMP, não me lembro de nenhum outro programa que eu teria usado naquela época.

— Jmad